Question

10．如圖，直線OA的解析式為y=3x，點(diǎn) A的橫坐標(biāo)是-1，OB=$\sqrt{2}$，OB與x軸所夾銳角是45°．
（1）求B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求直線AB的函數(shù)表達(dá)式；
（3）若直線AB與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)D，求△AOD的面積；
（4）在直線AB上存在異于點(diǎn)A的另一點(diǎn)P，使得△ODP與△ODA的面積相等，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，則△BOE為等腰直角三角形，由此得出OE=BE、OB=$\sqrt{2}$OE，結(jié)合OB=$\sqrt{2}$即可得出OE=BE=1，再根據(jù)點(diǎn)B所在的象限即可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）由點(diǎn)A的橫坐標(biāo)利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線AB的函數(shù)表達(dá)式；
（3）將x=0代入直線AB的函數(shù)表達(dá)式中即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積公式即可得出△AOD的面積；
（4）由△ODP與△ODA的面積相等可得知x_P=-x_A，再根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，如圖所示．
∵∠BOE=45°，BE⊥OE，
∴△BOE為等腰直角三角形，
∴OE=BE，OB=$\sqrt{2}$OE．
∵OB=$\sqrt{2}$，
∴OE=BE=1，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，-1）．
（2）當(dāng)x=-1時(shí)，y=-3，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，-3）．
設(shè)直線AB的表達(dá)式為y=kx+b（k≠0），
將（-1，-3）、（1，-1）代入y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=-3}\\{k+b=-1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y=x-2．
（3）當(dāng)x=0時(shí)，y=-2，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，-2），
∴S_△AOD=$\frac{1}{2}$OD•|x_A|=$\frac{1}{2}$×2×1=1．
（4）∵△ODP與△ODA的面積相等，
∴x_P=-x_A=1，
當(dāng)x=1時(shí)，y=1-2=-1，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及三角形的面積，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．