Question

如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，以AB為直徑的⊙O經(jīng)過點(diǎn)D，E是⊙O上一點(diǎn)，且∠AED=45°．
（1）試判斷CD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．
（2）若BC=2．求陰影部分的面積．（結(jié)果保留π的形式）

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,平行四邊形的性質(zhì),圓周角定理,扇形面積的計(jì)算

專題：

分析：（1）接BD、OD，求出∠ABD=∠AED=45°，根據(jù)DC∥AB，推出∠CDB=45°，求出∠ODC=90°，根據(jù)切線的判定推出即可；
（2）求出∠AOD=∠BOD=90°，求出AO、OD，分別求出△AOD、扇形DOB、平行四邊形ABCD的面積，相減即可求出答案．

解答：（1）解：CD與⊙O的位置關(guān)系是相切．
理由是：連接BD、OD，
∵∠AED=45°，
∴∠ABD=∠AED=45°，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴DC∥AB，
∴∠CDB=45°，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD=45°，
∴∠ODC=45°+45°=90°，
∵OD為半徑，
∴CD與⊙O的位置關(guān)系是相切；

（2）解：∵AB∥CD，∠ODC=90°，
∴∠DOB=90°=∠DOA，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC=2，
在△AOD中，由勾股定理得：2AO²=2²，
AO=OD=OB=

2

，
∵S_△AOD=

1

2

OA×OD=

1

2

×

2

×

2

=1，
S_扇形BOD=

60π×( 2 )2

360

=

2

3

π，
S_{平行四邊形ABCD}=AB×DO=2

2

×

2

=4，
∴陰影部分的面積是：4-1-

2

3

π=3-

2

3

π．

點(diǎn)評：本題考查了切線的判定，扇形、三角形的面積，平行四邊形性質(zhì)的應(yīng)用，解（1）的關(guān)鍵是求出∠ODC的度數(shù)，解（2）的關(guān)鍵是求出△AOD、扇形DOB和平行四邊形的面積．