Question

如圖，拋物線與軸的交點(diǎn)為A、B，與 軸的交點(diǎn)為C，頂點(diǎn)為,將拋物線繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，得到新的拋物線,它的頂點(diǎn)為D.

（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E，點(diǎn)P是線段ED上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（P不與E、D重合），過點(diǎn)P作y軸的垂線，垂足為F，連接EF.如果P點(diǎn)的坐標(biāo)為，△PEF的面積為S，求S與的函數(shù)關(guān)系式，寫出自變量的取值范圍；
（3）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與軸的交點(diǎn)為G，以G為圓心，A、B兩點(diǎn)間的距離為直徑作⊙G，試判斷直線CM與⊙G的位置關(guān)系，并說明理由.

Answer 1

（1）拋物線n的解析式為 （2）S= （3）直線CM與⊙G相切；證明所以直線CM與⊙G相切

試題分析：（1）∵拋物線m的頂點(diǎn)為，∴m的解析式為：
解方程：得：x₁=" -2" ,x₂=8 ∴       
∵拋物線n是由拋物線m繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)得到，∴D的坐標(biāo)為 
∴拋物線n的解析式為：，即 
（2）∵點(diǎn)E與點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B中心對(duì)稱，∴E, 設(shè)直線ED的解析式為，
則，解得 ∴直線ED的解析式為 
又點(diǎn)P的坐標(biāo)為，∴S==–xy=
即S= 
（3）直線CM與⊙G相切  
理由如下：∵拋物線m的解析式為y=，令得.∴
∵拋物線m的對(duì)稱軸與軸的交點(diǎn)為G，∴OC=4，OG=3，∴由勾股定理得CG=5
又∵AB=10，∴⊙G的半徑為5，∴點(diǎn)C在⊙G上 

過M點(diǎn)作y軸的垂線，垂足為N，則
又，
∴ ∴根據(jù)勾股定理逆定理，得∠GCM=90⁰
∴ ∴直線CM與⊙G相切 
點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線，勾股定理，直線與圓相切，要求考生掌握用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，會(huì)判定直線與圓相切，熟悉勾股定理的內(nèi)容