Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，將Rt△ABC繞頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為θ（0°＜θ＜180°），得到Rt△A₁B₁C．
（1）如圖1，若連接AA₁，BB₁，則

BB1

AA1

的值為______；
（2）如圖2，連接AB₁、BA₁，判斷S_△ACB1與S△A1CB的大小關(guān)系，并說明你的理由；
（3）如圖3，設(shè)AB的中點(diǎn)為O，A₁B₁的中點(diǎn)為P，當(dāng)θ=______時(shí)，OP⊥A₁C．

Answer 1

（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義，旋轉(zhuǎn)角∠ACA₁=∠BCB₁，
∵Rt△A₁B₁C是Rt△ABC繞頂點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到，
∴AC=A₁C，BC=B₁C，
∴△ACA₁∽△BCB₁，
∴

BB1

AA1

=

BC

AC

，
∵cot30°=

BC

AC

=

3

，
∴

BB1

AA1

=

3

；

（2）S_△ACB1=S_△A1CB．
理由如下：如圖2，作AM⊥B₁C于點(diǎn)M，作A₁N⊥CB于N，
則∠ACA₁+∠A₁CB=90°，
∠ACA₁+∠ACM=90°，
∴∠A₁CB=∠ACM，
在△ACM和△A₁CN中，

∠A1CB=∠ACM ∠AMC=∠A1NC=90° AC=A1C

，
∴△ACM≌△A₁CN（AAS），
∴AM=A₁N，
又∵CB₁=CB，
∴S_△ACB1=S_△A1CB；

（3）如圖3，連接CO、PO，
∵AB的中點(diǎn)為O，A₁B₁的中點(diǎn)為P，
∴CO=PO=AO，
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠A=90°-30°=60°，
∴△ACO是等邊三角形，
∴∠ACO=60°，
∵OP⊥A₁C，
∴∠A₁CP=∠A₁CO=∠A=60°（等腰三角形三線合一），
∴∠ACA₁=∠ACO+∠A₁CO=60°+60°=120°，
即當(dāng)θ=120°時(shí)，OP⊥A₁C．
故答案為：（1）

3

；（3）120°．