Question

如果我們定義：“到三角形的兩個頂點距離相等的點，叫做此三角形的開心點。”那么：

（1）如圖1，觀察并思考，△ABC的開心點有         個
（2）如圖2，CD為等邊三角形ABC的高，開心點P在高CD上，且PD=，則∠APB的度數(shù)為          
（3）已知△ABC為直角三角形，斜邊BC=5，AB=3，開心點P在AC邊上，試探究PA的長。

Answer 1

（1）無數(shù)；（2）90°；（3）2或.

試題分析：（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可知，△ABC的開心點有無數(shù)個；（2）連接PA、PB，根據(jù)開心點的定義，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB三種情況利用等邊三角形的性質(zhì)求出PD與AB的關(guān)系，然后判斷出只有情況③是合適的，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出∠APB=45°，然后即可求出∠APB的度數(shù)；（3）先根據(jù)勾股定理求出AC的長度，根據(jù)開心點的定義，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB三種情況，根據(jù)三角形的性質(zhì)計算即可得解.
試題解析：（1）無數(shù).
（2）①若PB=PC，連接PB，則∠PCB=∠PBC，
∵CD為等邊三角形的高，∴AD=BD，∠PCB=30°.
∴∠PBD=∠PBC=30°，∴PD=DB=AB.與已知PD=AB矛盾，∴PB≠PC.
②若PA=PC，連接PA，同理可得PA≠PC.
③若PA=PB，由PD=AB，得PD="AD" =BD，∴∠APD=∠BPD="45°." ∴∠APB=90°.
（3）∵BC=5，AB=3，∴AC=.
①若PB=PC，設PA=，則，∴，即PA=.
②若PA=PC，則PA=2.
③若PA=PB，由圖知，在Rt△PAB中，不可能.
∴PA=2或.