Question

如圖，已知AB是半圓O的直徑，AB=10，點P是半圓周上一點，連接AP、BP，并延長BP至點C，使CP=BP，過點C作CE⊥AB，點E為垂足，CE交AP于點F，連接OF．
（1）當(dāng)∠BAP=30°時，求的長度；
（2）當(dāng)CE=8時，求線段EF的長；
（3）在點P運動過程中，點E隨之運動到點A、O之間時，以點E、O、F為頂點的三角形與△BAP相似，請求出此時AE的長度．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OP，利用圓周角定理可得出∠BOP=2∠BAP，然后代入弧長公式即可求出的長度．
（2）連接AC，則可判斷AP是線段BC的垂直平分線，在Rt△ACE中，求出AE，從而得出BE，再由Rt△AEF∽Rt△CEB，利用相似三角形的性質(zhì)即可得出EF的長度．
（3）若以點E、O、F為頂點的三角形與△BAP相似，則有∠EOF=∠PAB或∠EOF=∠ABP，然后分別求出AE的長度即可．
解答：解：（1）連接OP，

∵AB=10，
∴OB=5，
又∵∠BAP=30°，
∴∠BOP=60°，
∴=．
（2）連接AC，

∵AB是半圓O的直徑，
∴∠APB=90°，
又∵CP=BP，
∴AP是線段BC的垂直平分線，
∴AC=AB=10，
在Rt△ACE中，，
∴BE=4，
又∵Rt△AEF∽Rt△CEB，
∴，，
∴EF=3．
（3）若以點E、O、F為頂點的三角形與△BAP相似，則有∠EOF=∠PAB或∠EOF=∠ABP，
①當(dāng)∠EOF=∠PAB時，此時△AOF為等腰三角形，點E為AO的中點，即AE=；
②當(dāng)∠EOF=∠ABP時，OF∥BP，
此時OE=5-AE，BE=10-AE，
∵Rt△EOF∽Rt△EBC，
∴，，
∴AE=．
點評：此題屬于二次函數(shù)的綜合題，涉及了圓周角定理、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)，本題的難點在第三問，注意分類討論，不要漏解，難度較大．