Question

18．如圖，AC是正方形ABCD的對角線．點E為射線CB上一個動點（點E不與點C，B重合），連接AE，點F在直線AC上，且EF=AE．

（1）點E在線段CB上，如圖1所示；
①若∠BAE=10°，求∠CEF的度數(shù)；
②用等式表示線段CD，CE，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
（2）如圖2，點E在線段CB的延長線上；請你依題意補(bǔ)全圖2，并直接寫出線段CD，CE，CF之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）①利用正方形的性質(zhì)結(jié)合三角形外角的性質(zhì)得出∠1=∠F+∠CEF，進(jìn)而得出答案；
②利用正方形的性質(zhì)結(jié)合全等三角形的判定方法得出△AEM≌△FEC（AAS），進(jìn)而得出線段CD，CE，CF之間的數(shù)量關(guān)系；
（2）利用正方形的性質(zhì)結(jié)合全等三角形的判定方法得出：△ABE≌△EMF（AAS），進(jìn)而得出線段CD，CE，CF之間的數(shù)量關(guān)系．

解答 （1）①解：如圖1所示，
∵AC是正方形ABCD的對角線，
∴∠BAC=∠1=45°．
∵∠BAE=10°，
∴∠2=35°．
∵EF=AE，
∴∠F=∠2=35°，
∵∠1是△CEF的外角，
∴∠1=∠F+∠CEF．
∴45°=35°+∠CEF．
∴∠CEF=10°．

②線段CD，CE，CF之間的數(shù)量關(guān)系是：$\sqrt{2}$CE+CF=$\sqrt{2}$CD．
證明：∵∠BAE+∠2=45°，∠CEF+∠F=45°，
∴∠BAE=∠CEF．
方法一：如圖2，過點E作ME⊥BC交AC于點M．
∵M(jìn)E⊥BC，
∴AB∥ME，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠1=∠BAC=45°，
則∠EMC=45°，
故∠AME=∠ECF=135°，
∵AE=EF，
∴∠2=∠F，
在△AEM和△FEC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠EMA=∠ECF}\\{∠2=∠F}\\{AE=EF}\end{array}\right.$，
∴△AEM≌△FEC（AAS），
∴AM=FC．
∴FM=AC=$\sqrt{2}$CD．
∵FM=MC+CF，
∴MC+CF=$\sqrt{2}$CD．
∴$\sqrt{2}$CE+CF=$\sqrt{2}$CD．

方法二：如圖3，在AB上取點M，使AM=EC．
由方法一同理可得：△AEM≌△FEC，
∴FC=EM=$\sqrt{2}$BE．
∴EB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CF．
∵EB+CE=CB，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$CF+CE=CD．
∴$\sqrt{2}$CE+CF=$\sqrt{2}$CD．

方法三：圖4，延長BC，過點F作MF⊥BC，交BC的延長線于點M．
由方法一同理可得：△ABE≌△EMF，
∴BE=MF．
∵M(jìn)F=CM，
∴BE=MF=CM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CF．
∵EB+CE=CB，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$CF+CE=CD．
∴$\sqrt{2}$CE+CF=$\sqrt{2}$CD．

（2）解：如圖5所示：線段CD，CE，CF之間的數(shù)量關(guān)系是：$\sqrt{2}$CD+CF=$\sqrt{2}$CE．
理由：過點F作FM⊥BC于點M，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
∵AE=EF，
∴∠EAF=∠EFA，
∵∠FEC+∠ECF=∠EFA，
∠EAB+∠BAC=∠EAF，
∴∠FEC+45°=45°+∠EAB，
∴∠FEC=∠EAB，
在△ABE和△EMF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBA=∠FME}\\{∠BAE=∠MEF}\\{AE=EF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△EMF（AAS），
∴BE=FM，
∵M(jìn)F=CM，
∴BE=MF=CM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CF．
∵EB+BC=CE，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$CF+DC=CE．
∴$\sqrt{2}$CD+CF=$\sqrt{2}$CE．

點評 此題主要考查了四邊形綜合以及全等三角形的判定與性質(zhì)和正方形的性質(zhì)等知識，正確作出輔助線得出全等三角形是解題關(guān)鍵．