Question

如圖，已知點B（-2，0）C（-4，0），過點B，C的⊙M與直線x=-1相切于點A（A在第二象限），點A關于x軸的對稱點是A₁，直線AA₁與x軸相交點P
（1）求證：點A₁在直線MB上；
（2）求以M為頂點且過A₁的拋物線的解析式；
（3）設過點A₁且平行于x軸的直線與（2）中的拋物線的另一交點為D，當⊙D與⊙M相切時，求⊙D的半徑和切點坐標．

Answer 1

分析：（1）由切割線定理求出PA的長，得到A和A′的坐標，進一步求出M的坐標，設直線MB的解析式是y=kx+b，代入即可求出解析式，把A₁的坐標代入即可判斷；
（2）拋物線的解析式設為y=a(x+3)2+

3

，將點A₁坐標代入，可得a=-

3

2

，即可得到答案；
（3）過點A₁且平行于x軸的直線為y=-

3

，解由y=-

3

和y=-

3

2

(x+3)2+

3

組成的方程組，求出方程組的解得到D的坐標，以點D為圓心且與⊙M相切的圓有兩種情況：外切或內切，
當⊙D與⊙M外切時，DM=4，求出⊙D的半徑為2，點C（-4，0）就是切點，當⊙D與⊙M內切時，求出⊙D的半徑為6，點⊙E(-2，-2

3

)是切點，即可得出答案．

解答：（1）證明：由題意知：P（-1，0），BP=1，CP=3，
∵PA與⊙M相切于A，PBC是⊙M的割線，
∴PA²=PB•PC即PA2=1×3=3，PA=

3

，
∵A在第二象限，點A關于x軸的對稱點是A₁
∴A(-1，

3

)，A1(-1，-

3

)，
可得M(-3，

3

)，
設直線MB的解析式是y=kx+b，
代入得：

0=-2k+b 3 =-3k+b

，
解得：

k=- 3 b=-2 3

，
∴直線MB的解析式為y=-

3

x-2

3

，
當x=-1時y=

3

-2

3

=-

3

，
即點A₁在直線MB上．

（2）解：∵所求拋物線以M(-3，

3

)為頂點，
∴拋物線的解析式可設為y=a(x+3)2+

3

，
將點A₁坐標代入，可得a=-

3

2

，
∴拋物線的解析式為y=-

3

2

(x+3)2+

3

，
答：以M為頂點且過A₁的拋物線的解析式為y=-

3

2

(x+3)2+

3

．

（3）解：過點A₁且平行于x軸的直線為y=-

3

，
由y=-

3

2

(x+3)2+

3

和y=-

3

，
解得x1=-1，y1=-

3

．

x

2

=-5，y2=-

3

，
∴A1(-1，-

3

)，D(-5，-

3

)，
以點D為圓心且與⊙M相切的圓有兩種情況：外切或內切
當⊙D與⊙M外切時，DM=4，
∴⊙D的半徑為2，點C（-4，0）就是切點，
當⊙D與⊙M內切時，⊙D的半徑為6，點⊙E（-2，2

3

）是切點，
答：當⊙D與⊙M外切時，⊙D的半徑為2和切點坐標是（-4，0）；當⊙D與⊙M內切時，⊙D的半徑為6，切點坐標是（-2，2

3

）．

點評：本題主要考查對用待定系數(shù)法求一次函數(shù)，二次函數(shù)的解析式，圓與圓的相切的性質，切割線定理，解二元一次方程組，關于X軸對稱的點的性質等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質進行計算是解此題的關鍵，題型較好，難度適中．