如圖1，設(shè)拋物線y=
1
4
x2-
1
2
x-
3
4
交x軸于A，B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為D．以BA為直徑作半圓，圓心為M，半圓交y軸負(fù)半軸于C．
（1）求拋物線的對(duì)稱軸；
（2）將△ACB繞圓心M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，得到三角形APB，如圖2．求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）有一動(dòng)點(diǎn)Q在線段AB上運(yùn)動(dòng)，△QCD的周長(zhǎng)在不斷變化時(shí)是否存在最小值？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．
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分析：（1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸公式即可得出所求的結(jié)果．
（2）可先根據(jù)拋物線的解析式求出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，過(guò)P作PE⊥x軸于E，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)不難得出BE=OA，PE=OC，由此可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）本題的關(guān)鍵是找出Q點(diǎn)的位置，取C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接C′D與x軸的交點(diǎn)就是Q點(diǎn)．可先求出直線C′D的函數(shù)解析式，進(jìn)而可得出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．
解答：精英家教網(wǎng)解：（1）由題意可知：拋物線的對(duì)稱軸為x=1．

（2）過(guò)P作PE⊥x軸于E，則有△PEB≌△OAC
易知A（-1，0）、B（3，0）、
C（0，-
3
）．
∴OA=BE=1，OB=AE=3，EP=OC=
3

∴OE=OB-BE=2
即P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，
3
）．

（3）設(shè)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為C′（0，
3
），
已知拋物線頂點(diǎn)D（1，-1）．
設(shè)直線C′D的解析式為y=kx+
3
，則有：
k+
3
=-1，k=-1-
3

因此直線CD的解析式為y=（-1-
3
）x+
3
．
令y=0，則x=
3-
3
2

∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（
3-
3
2
，0）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，（3）題找出Q點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．
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相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知：拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸為x=
3
且經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，-3）和點(diǎn)F（3，-2
3
）．
（1）求拋物線的解析式：
（2）如圖1，設(shè)拋物線y=ax2+bx+c與x 軸交于A、B兩點(diǎn)，與y 軸交于點(diǎn)C，過(guò)A、B、C三點(diǎn)的⊙M交y 軸于另一點(diǎn)D，連接AD、DB，設(shè)∠CDB=α，∠ADC=β，求cos（α-β）的值；
（3）如圖2，作∠CDB的平分線DE交⊙M于點(diǎn)E，連接BE，問：在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P，使得以P、D、E為頂點(diǎn)的三角形與△DEB相似．若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)（不包括點(diǎn)B）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)B（-3，1）在拋物線y=ax2+ax-2上，點(diǎn)C在x軸上．
（1）求a的值；
（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）若△ABC是等腰直角三角形
①如圖1，將△ABC繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)β°（0＜β＜180°）得到△AB′C′，當(dāng)點(diǎn)C′（2，1）恰好落在該拋物線上，請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算說(shuō)明點(diǎn)B′也在該拋物線上．
②如圖2，設(shè)拋物線與y軸的交點(diǎn)為D、P、Q兩點(diǎn)同時(shí)從D點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)P沿折線D→C→B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，點(diǎn)Q沿拋物線（在第二、三象限的部分）運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，若P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度相同，請(qǐng)問誰(shuí)先到達(dá)點(diǎn)B，為什么？

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過(guò)A（-3，0），B（-1，0）兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，設(shè)拋物線y=ax2+bx+3的頂點(diǎn)為M，直線y=-2x+9與y軸交于點(diǎn)C，與直線OM交于點(diǎn)D．現(xiàn)將拋物線平移，保持頂點(diǎn)在直線OD上．若平移后拋物線與射線CD（含端點(diǎn)C）只有一個(gè)公共點(diǎn)，求它的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍；
（3）如圖2，將拋物線y=ax2+bx+3平移，平移后拋物線與x軸交于點(diǎn)E、F，與y軸交于點(diǎn)N，當(dāng)E（-1，0）、F（5，0）時(shí)，在拋物線上是否存在點(diǎn)G，使△GFN中FN邊上的高為7
2
？若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：第26章《二次函數(shù)》中考題集（38）：26.3 實(shí)際問題與二次函數(shù)（解析版） 題型：解答題

如圖1，設(shè)拋物線y=x2-交x軸于A，B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為D．以BA為直徑作半圓，圓心為M，半圓交y軸負(fù)半軸于C．
（1）求拋物線的對(duì)稱軸；
（2）將△ACB繞圓心M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，得到三角形APB，如圖2．求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）有一動(dòng)點(diǎn)Q在線段AB上運(yùn)動(dòng)，△QCD的周長(zhǎng)在不斷變化時(shí)是否存在最小值？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

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