Question

已知：拋物線y=ax²+bx+c的對稱軸為x=

3

且經(jīng)過點(diǎn)C（0，-3）和點(diǎn)F（3，-2

3

）．
（1）求拋物線的解析式：
（2）如圖1，設(shè)拋物線y=ax²+bx+c與x 軸交于A、B兩點(diǎn)，與y 軸交于點(diǎn)C，過A、B、C三點(diǎn)的⊙M交y 軸于另一點(diǎn)D，連接AD、DB，設(shè)∠CDB=α，∠ADC=β，求cos（α-β）的值；
（3）如圖2，作∠CDB的平分線DE交⊙M于點(diǎn)E，連接BE，問：在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P，使得以P、D、E為頂點(diǎn)的三角形與△DEB相似．若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)（不包括點(diǎn)B）；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)C點(diǎn)坐標(biāo)求出c的值，再根據(jù)對稱軸為x=

3

得出a、b之間的關(guān)系，由拋物線過F點(diǎn)即可求出此拋物線的解析式；
（2）由（1）中拋物線的解析式可求出A、B的坐標(biāo)，連接AC、BC，利用銳角三角函數(shù)的定義可得出∠ACO的度數(shù)，
由相似三角形的判定可知△COB∽△AOC，故可得出∠CBO=∠ACO=30°，由圓周角定理可知AB為⊙M的直徑，進(jìn)而可得出α、β的值，由特殊角的三角函數(shù)值即可得出結(jié)論；
（3）連接CE，由圓周角定理可知DE為⊙M的直徑，以DE為邊的直角三角形有以下兩種：
①若以DE為斜邊，連接AE，顯然△EDA∽△DEB、△DEC∽△DEB，由相似三角形的性質(zhì)可求出P點(diǎn)坐標(biāo)；
②若以DE為直角邊，不存在以點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)的三角形滿足條件．過點(diǎn)E作EP⊥DE交y軸于點(diǎn)P，則△DPE∽△DEB，先根據(jù)勾股定理求出AC的長，可得出∠CDE=∠ADC=30°及CE=AC=2

3

，根據(jù)EP為⊙M的切線，可求出∠CEP=∠CDE=30°，由銳角三角函數(shù)的定義可求出CP的長，由OP=OC+CP得出OP的長，求出P點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）∵C（0，-3），
∴y=ax²+bx-3，
∵-

b

2a

=

3

，
∴b=-2

3

a，
∴y=ax²-2

3

ax-3，
∵-2

3

=3²a-2

3

a×3-3，解得a=

1

3

，
∴b=-2

3

a=-

2 3

3

，
∴y=

1

3

x²-

2 3

3

x-3；

（2）由

1

3

x²-

2 3

3

x-3=0，解得：x₁=-

3

，x₂=3

3

，
∴A（-

3

，0），B（3

3

，0）（3分），
連接AC、BC，
∵C（0，-3），
∴tan∠ACO=

OA

OC

=

3

3

，
∴∠ACO=30°，
∵OC²=3²=9=

3

×3

3

=OA•OB，即

OB

OC

=

OC

OA

，
∵∠COB=90°=∠AOC，
∴△COB∽△AOC，
∴∠CBO=∠ACO=30°，
∴∠BCO=60°，
∴∠ACB=∠ACO+∠BCO=30°+60°=90°，
∴AB為⊙M的直徑，
∴點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，
∴∠ADC=∠ACO=30°，
∴β=60°，α=30，
∴α-β=60°-30°=30°，
∴cos（α-β）=cos30°=

3

2

；

（3）連接CE，
∵∠CDE=∠ADC=30°，∠DEC=∠ADO+∠ACO=30°+30°=60°，
∴∠DCE=90°，
∴DE為⊙M的直徑，
∴△DEB為直角三角形．
∴以DE為邊的直角三角形有以下兩種：
①若以DE為斜邊，連接AE，顯然△EDA∽△DEB、△DEC∽△DEB，
∴點(diǎn)P₁（-

3

，0），P₂（0，-3）．
②若以DE為直角邊，不存在以點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)的三角形滿足條件．過點(diǎn)E作EP⊥DE交y軸于點(diǎn)P，則△DPE∽△DEB，
∵AC=

OA2+OC2

=

( 3 )2+32

=2

3

，∠CDE=∠ADC=30°，
∴CE=AC=2

3

，
∵EP為⊙M的切線，
∴∠CEP=∠CDE=30°，
∴

CP

CE

=tan∠CEP=tan30°=

3

3

，
∴CP=

3

3

CE=

3

3

×2

3

=2，
∴OP=OC+CP=3+2=5，
∴P（0，-5）．
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P共有3個，其坐標(biāo)分別為：P（0，-5）、P₁（-

3

，0）、P₂（0，-3）．

點(diǎn)評：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的關(guān)系式，銳角三角函數(shù)的定義及特殊角的三角函數(shù)值，切線的性質(zhì)，熟知以上知識是解答此題的關(guān)鍵．