Question

已知Rt△ABC和Rt△A′C′D中，AC=A′C′，A′D=1，∠B=∠D=90°，∠C+∠C′=60°，BC=2，則這兩個三角形的面積和為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：面積及等積變換

專題：計(jì)算題,壓軸題

分析：利用AC=A′C′把Rt△ABC和Rt△A′C′D中的AC與A′C′重合可得到如圖所示的四邊形ABCD，再延長CD與BA交于E，由∠BCE=60°得到∠E=30°，根據(jù)含30°的直角三角形三邊的關(guān)系得到EB=

3

BC=2

3

，可計(jì)算出S_△EBC=

1

2

×2×2

3

=2

3

；同樣S_△ADE=

1

2

×1×

3

=

3

2

，然后利用S_{四邊形ABCD}=S_△EBC-S_△ADE進(jìn)行計(jì)算．

解答：解：由于AC=A′C′，所以把Rt△ABC和Rt△A′C′D中的AC與A′C′重合可得到如圖所示的四邊形ABCD，∠B=∠ADC=90°，
∵∠C+∠C′=60°，
∴∠BCD=60°，
CD與BA的延長線交于E點(diǎn)，如圖，
在Rt△EBC中，BC=2，∠BCE=60°，
∴∠E=30°，
∴EB=

3

BC=2

3

，
∴S_△EBC=

1

2

×2×2

3

=2

3

；
在Rt△EAD中，∠E=30°，AD=1，
∴AE=2，
∴S_△ADE=

1

2

×1×

3

=

3

2

，
∴S_{四邊形ABCD}=S_△EBC-S_△ADE=2

3

-

3

2

，
即原來兩個三角形的面積和為

3 3

2

．
故答案為：

3 3

2

．

點(diǎn)評：本題考查了面積與等積變換：把幾個不規(guī)則的幾何圖形拼成較為規(guī)則的幾何圖形，然后利用面積的和差解決問題．也考查了含30°的直角三角形三邊的關(guān)系．