Question

20、已知n是自然數(shù)，而n²-19n+91的值是完全平方數(shù)，求n．

Answer 1

分析：根據(jù)n²-19n+91=（n-9）²+（10-n），可分兩種情況：①當(dāng)n＞10時（n²-19n+19）不會成為完全平方數(shù)；②當(dāng)n≤10時，（n²-19n+91）才是完全平方數(shù)；從而得出n的值為9或10．

解答：解：若（n²-19n+91）處在兩個相鄰整數(shù)的完全平方數(shù)之間，則它的取值便固定了．
∵n²-19n+91=（n-9）²+（10-n）
當(dāng)n＞10時，（n-10）²＜n²-19n+19＜（n-9）²
∴當(dāng)n＞10時（n²-19n+19）不會成為完全平方數(shù)
∴當(dāng)n≤10時，（n²-19n+91）才是完全平方數(shù)
經(jīng)試算，n=9和n=10時，n²-19n+91是完全平方數(shù)．
所以滿足題意的值有：n=9和n=10共2個．

點評：本題考查了完全平方數(shù)的應(yīng)用，是重點內(nèi)容，要熟練掌握．