Question

拋物線y=（x-1）²的頂點A在直線l：y=x-1上運動，在某一時刻，所得新拋物線的頂點為B，記B點的橫坐標為m．
（1）當m=-1時，直接寫出拋物線的解析式；
（2）若新拋物線交x軸于M、N兩點，S_△MBN≤2

2

，求m的取值范圍；
（3）當△MBN是等腰直角三角形時，直接寫出m的值；
（4）當△MBN是等邊三角形時，求AB的長．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）利用一次函數(shù)圖象上點的坐標性質得出B點坐標，進而得出二次函數(shù)解析式即可；
（2）首先表示出M，N的坐標，進而得出MN的值，再利用三角形面積得出m的取值范圍；
（3）若△MBN為等腰直角三角形，作BC⊥MN于C，則BC=

1

2

MN，即1-m=

1-m

，求出m的值即可；
（4）若△MBN為等邊三角形，作BC⊥MN于C，則BC=

3

CN=

3

2

MN，進而得出關于m的關系式求出m，即可得出B點坐標，進而得出AB的長．

解答：解：（1）∵點B在直線y=x-1上，B點的橫坐標為m，當m=-1時，
∴y=-1-1=-2，
∴B點坐標為：（-1，-2），
根據(jù)二次函數(shù)平移a不變則a=1，
∴拋物線的解析式為：y=（x+1）²-2；

（2）如圖1，
拋物線的頂點B（m，m-1），則平移后的新拋物線是y=（x-m）²+m-1，
令y=0，則x=m±

1-m

（m＜1），
xM=m-

1-m

，xN=m+

1-m

，
MN=2

1-m

，
S_△MBN=

1

2

×MN×|y_B|
=

1

2

×2

1-m

×|m-1|
=（1-m）

1-m

≤2

2

，
∴m≥-1，
∴-1≤m＜1，
中間過程不必處處強求，
若用一元二次方程根與系數(shù)關系求得：
MN=|x1-x2|=

△

|a|

=2

1-m

，同樣給分，若未注明m＜1或只得m≤1，給3分）；

（3）如圖2，m=0，
若△MBN為等腰直角三角形，作BC⊥MN于C，則BC=

1

2

MN，
即1-m=

1-m

，
∵m＜1，
∴m=0，
說明：只有拋物線y=（x-1）²向左下平移時，才會與x軸有兩個不同的交點，因此必有m＜1；

（4）如圖2，若△MBN為等邊三角形，作BC⊥MN于C，
∴∠CBN=30°，

CN

BC

=tan30°，
則BC=

3

CN=

3

2

MN，
即1-m=

3

2

×2

1-m

，
∴m=-2，
∴B（-2，-3），
∵一次函數(shù)y=x-1與坐標軸分別交于（0，-1），（1，0），
∴∠OAB=45°，
∴△ABC為等腰直角三形，BC=AC=3，
故AB=3

2

．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)綜合應用以及等邊三角形的性質和勾股定理等知識，利用二次函數(shù)的平移以及二次根式的性質得出m的值是解題關鍵．