如圖,已知以Rt△ABC的邊AB為直徑作△ABC的外接圓⊙O,∠ABC的平分線BE交AC于D,交⊙O于E,過E作EF∥AC交BA的延長線于F.
(1)求證:EF是⊙O切線;
(2)若AB=3,EF=2,求CD的長.

(1)證明:連接OE,OE交AC于G點;
∵BE平分∠ABC;
∴∠ABE=∠CBE;

∴∠EAC=∠ABE;
∵EF∥AC;
∴∠AEF=∠EAC;
∴∠AEF=∠ABE;
∵OA=OE;
∴∠OAE=∠OEA;
∵AB是直徑;
∴∠ABE+∠EAB=90°;
∴∠AEO+∠AEF=90°;
∴OE⊥EF;
∴EF是⊙O切線.

(2)解:易證△EAF∽△BEF;

∴EF2=FB•AF;
∴AF=1;
∵△EAF∽△BEF;

∵AB=3;
∴AE=,BE=
∵AD∥EF;
∴△ABD∽△FBE;;
∴BD=
∵△CBD∽△EBA;==
∴CD=BD=
分析:(1)要證EF是⊙O的切線,只要連接OE,再證∠FEO=90°即可;
(2)證明△FEA∽△FBA,得出AE,BF的比例關系式,勾股定理得出AE,BF的關系式,求出AE的長.
點評:本題考查了切線的判定.要證某線是圓的切線,已知此線過圓上某點,連接圓心與這點(即為半徑),再證垂直即可.
練習冊系列答案
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

23、如圖,已知以Rt△ABC的直角邊AB為直徑作⊙O與斜邊AC交于點D,E為BC邊的中點,連接DE,
(1)求證:DE是⊙O的切線;
(2)連接OE,當∠CAB為何值時,四邊形AOED是平行四邊形.
(3)在第(2)條件下探索OBED的形狀.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知以Rt△ABC的邊AB為直徑作△ABC的外接圓⊙O,∠ABC的平分線BE交AC于D,交⊙O于E,過E作EF∥AC交BA的延長線于F.
(1)求證:EF是⊙O切線;
(2)若AB=3,EF=2,求CD的長.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,已知以Rt△ABC的邊AB為直徑作△ABC的外接圓⊙O,∠B的平分線BE交AC于D,交⊙O于E,過E作EF精英家教網(wǎng)∥AC交BA的延長線于F.
(1)求證:EF是⊙O切線;
(2)若AB=15,EF=10,求AE的長.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知以Rt△ABC的邊AB為直徑作△ABC的外接圓⊙O,∠B的平分線BE交AC于D,交
⊙O于E,過E作EF∥AC交BA的延長線于F.
(1)判斷直線EF與⊙O的位置關系,并說明理由;
(2)若AB=15,EF=10,求AE的長.

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科目:初中數(shù)學 來源:2013屆湖北省襄陽市襄城區(qū)中考適應性考試數(shù)學試卷(帶解析) 題型:解答題

如圖,已知以Rt△ABC的直角邊AB為直徑做圓O,與斜邊AC交于點D,E為BC邊的中點,連接DE.

(1)求證:DE是⊙O的切線;
(2)連接OE、AE,當∠CAB為何值時,四邊形AODE是平行四邊形,并說明理由;
(3)在(2)的條件下,求sin∠CAE的值.

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