如圖,已知以Rt△ABC的直角邊AB為直徑做圓O,與斜邊AC交于點(diǎn)D,E為BC邊的中點(diǎn),連接DE.
(1)求證:DE是⊙O的切線;
(2)連接OE、AE,當(dāng)∠CAB為何值時(shí),四邊形AODE是平行四邊形,并說(shuō)明理由;
(3)在(2)的條件下,求sin∠CAE的值.
(1)通過(guò)證明∠ODE=90°,OD⊥DE,得DE是⊙O的切線 (2) 當(dāng)∠CAB=45°時(shí),四邊形AODE是平行四邊形 (3)
解析試題分析:(1)證明:連接OD、BD.
∵AB是⊙O的直徑,∴∠ADB=90°,
∵∠ADB+∠BDC=180°,∴∠BDC=90°,
∵E為BC邊的中點(diǎn),∴BE=DE=CE=BC
∴∠BDE=∠DBE, ∵OB="BD," ∴∠OBD=∠ODB,
又∵∠ABC=∠OBD+∠DBE=90°,
∴∠ODB+∠BDE=90°,即∠ODE=90°,
∴OD⊥DE,∴DE是⊙O的切線.
(2)解:當(dāng)∠CAB=45°時(shí),四邊形AODE是平行四邊形.
又∵∠ABC =90°,∴∠CAB=∠C =45°,∴AB=BC.
同理可得BD="CD," ∵∠BDC=90°,E為BC邊的中點(diǎn),
∴DE⊥BC, ∴∠CED=∠ABC =90°, ∴DE∥AB.
又∵DE=BC,OA=AB, ∴DE=OA.
∴四邊形AODE是平行四邊形.
(3)過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC交AC于點(diǎn)F,設(shè)EF=x,則CE=BE=x,BC=AB=2x,
在Rt△ABE中,AE==x
在Rt△AFE中,sin∠CAE===
考點(diǎn):直線與圓相切,平行四邊形
點(diǎn)評(píng):本題考查直線與圓相切,平行四邊形,掌握直線與圓相切的概念和性質(zhì),并能判斷直線與圓相切,掌握平行四邊形的判定方法,會(huì)判定一個(gè)四邊形是平行四邊形
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