Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線過點，這條拋物線的對稱軸與x軸交于點C，點P為射線CB上一個動點（不與點C重合），點D為此拋物線對稱軸上一點，且?CPD=．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點P的橫坐標為m，△PCD的面積為S，求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）過點P作PE⊥DP，連接DE，F(xiàn)為DE的中點，試求線段BF的最小值．

Answer 1

（1）；（2）（m<3）；（3）．

解析試題分析：（1）由拋物線過點，根據(jù)點在曲線上點的坐標滿足方程的關(guān)系，應用待定系數(shù)法求解即可.
（2）證明△PCD是等邊三角形，用m表示CP和PG，由即可求得S與m之間的函數(shù)關(guān)系式.
（3）通過證明△CPF≌△CDF得∠PCF=∠DCF，根據(jù)垂直線段最短的性質(zhì)知線段BF 的最小值為點B到直線CF的距離．
（1）依題意，得 ，解得 .
∴拋物線的解析式為，即．
（2）∵，∴拋物線的對稱軸為．∴C（3，0）．
∵，∴．∴．
∴∠OCB=．∴∠PCD=．
∵∠CPD=，∴∠CDP=．∴△PCD是等邊三角形．
如圖，過點P作PQ⊥x軸于點Q，PG∥x軸，交CD于點G，
∵點P的橫坐標為m，∴OQ=m，CQ=3-m．
∴，PG=CQ=3-m．
∴，即（m<3）．

（3）如圖，連接PF、CF．
∵PE⊥DP，F(xiàn)為DE的中點，∴PF==DF．
∵CP=CD，CF=CF，∴△CPF≌△CDF．∴∠PCF=∠DCF．
∴點F在∠PCD的平分線所在的直線上．
∴BF的最小值為點B到直線CF的距離．
∵∠OCB=∠BCF=，∴點B到直線CF的距離等于OB．
∴BF的最小值為．

考點：1.動點問題；2.二次函數(shù)綜合題；3．待定系數(shù)法的應用；4.曲線上點的坐標與方程的關(guān)系；5．銳角三角函數(shù)定義；6.特殊角的三角函數(shù)值；7．等邊三角形的判定和性質(zhì)；8.直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)；9.全等三角形的判定和性質(zhì)；10.垂直線段的性質(zhì).