Question

如圖，在矩形ABCD中，點M、N在線段AD上，∠MBC=∠NCB=60°，點E、F分別為線段CN、BC上的點，連接EF并延長，交MB的延長線于點G，EF=FG．
（1）點K為線BM的中點，若線段AK=2，MN=3，求矩形ABCD的面積；
 （2）求證：MB=NE+BG．

Answer 1

考點：矩形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：幾何綜合題

分析：（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出BM，再利用勾股定理列式求出AB的長，然后利用∠NCD的正切值求出DN的長，再求出AD，再根據(jù)矩形的面積公式列式計算即可得解；
（2）過點G作GH∥NC交CB的延長于點H，先利用“邊角邊”證明△ABM和△DCN全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BM=CN，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等求出∠H=∠ECF=60°，然后利用“角邊角”證明△FHG和△FCE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得HG=CE，再求出△BHG是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等可得BG=HG，從而得證．

解答：（1）解：∵矩形ABCD，
∴AD=BC，AB=CD，
在Rt△ABM中，∵點K為斜邊BM中點，
∴BM=2AK=4，
∵∠MBC=60°，
∴∠ABM=30°，
∴AM=

1

2

BM=2，AB=

BM2-AM2

=

42-22

=2

3

，
在△CDN中，∵∠NCB=60°，
∴∠NCD=30°，
∴DN=

CD

3

=

2 3

3

=2，
∴AD=2+3+2=7，
∴矩形ABCD的面積是：2

3

×7=14

3

；

（2）證明：過點G作GH∥NC交CB的延長于點H，
∵在△ABM和△DCN中，

AB=CD ∠BAM=∠CDN=90° AM=AN

，
∴△ABM≌△DCN（SAS），
∴BM=CN，
∵GH∥NC，
∴∠H=∠ECF=60°，
∵在△FHG和△FCE中，

∠H=∠ECF=60° EF=FG ∠HFG=∠CFE

，
∴△FHG≌△FCE（ASA），
∴HG=CE，
在△BHG中，∠HBG=∠MBC=60°=∠H，
∴△BHG是等邊三角形，
∴BG=HG=EC，
∴BM=CN=NE+CE=NE+BG

點評：本題考查了矩形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，綜合題，但難度不大，仔細(xì)分析圖形并熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．