Question

在同一平面直角坐標(biāo)系中有6個(gè)點(diǎn)：A（1，1），B（-3，-1），C（-3，1），D（-2，-2），E（-2，-3），F(xiàn)（0，-4）．
（1）畫出△ABC的外接圓⊙P，并指出點(diǎn)D與⊙P的位置關(guān)系；
（2）畫出直線EF并把直線EF沿y軸向上平移，使它經(jīng)過點(diǎn)D，設(shè)此時(shí)的直線為l₁．請(qǐng)判斷直線l₁與⊙P的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)A、B、C的坐標(biāo)可得到△ABC為直角三角形，則AB為△ABC外接圓⊙P的直徑，AB的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，0），利用勾股定理計(jì)算出AB，得到⊙P的半徑=

1

2

AB=

5

，再利用勾股定理計(jì)算出PD=

5

，然后根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系進(jìn)行判斷；
（2）由于D（-2，-2），E（-2，-3），F(xiàn)（0，-4），則直線EF沿y軸向上平移，使它經(jīng)過點(diǎn)D，得到直線EF向上平移1個(gè)單位得到l₁，則點(diǎn)F平移到Q點(diǎn)（0，-3），再利用勾股定理可計(jì)算出PD²=5，DF²=2²+1²=5，PQ²=1²+3²=10，然后根據(jù)勾股定理的逆定理得到∠PDQ=90°，再根據(jù)圓的切線的判定定理即可得到直線l₁與⊙P相切．

解答：解：（1）∵A（1，1），B（-3，-1），C（-3，1），
∴BC∥y軸，AC∥x軸，
∴BC⊥AC，
∴△ABC為直角三角形，
∴AB為△ABC外接圓⊙P的直徑，AB的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，0），
⊙P的半徑=

1

2

AB=

1

2

AC2+BC2

=

1

2

42+22

=

5

，
∵PD=

12+22

=

5

，
∴點(diǎn)D在⊙P上；
（2）直線l₁與⊙P相切．理由如下：
∵D（-2，-2），E（-2，-3），F(xiàn)（0，-4），
∴直線EF沿y軸向上平移，使它經(jīng)過點(diǎn)D，即直線EF向上平移1個(gè)單位得到l₁，
∴點(diǎn)F平移到Q點(diǎn)（0，-3），如圖，
連接PQ，PD²=5，DF²=2²+1²=5，PQ²=1²+3²=10，
∴PD²+DF²=PQ²，
∴∠PDQ=90°，
∴直線l₁與⊙P相切．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系和直線與圓相切的判定方法；記住直角三角形外接圓的圓心為斜邊的中點(diǎn)；會(huì)根據(jù)勾股定理計(jì)算平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)的距離．