Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形OEFG的頂點F坐標為(4，2)，OG邊與y軸重合。將矩形OEFG繞點O逆時針旋轉，使點F落在y軸的點N處，得到矩形OMNP，OM
與GF交于點A.
小題1:判斷△OGA和△NPO是否相似，并說明理由；
小題2:求過點A的反比例函數解析式；
小題3:若（2）中求出的反比例函數的圖象與EF交于B點， 請?zhí)剿鳎褐本�AB與OM的位置關系，并說明理由.
小題4:在GF所在直線上,是否存在一點Q,使△AOQ為等腰三角形.若存在,請直接寫出          
所有滿足要求的Q點坐標.

Answer 1

小題1:∵∠OGA=∠M=90°，
∠GOA=∠MON
∴△OGA∽△OMN；
小題2:∵AG：OP=OG：NP，∵OP=OG=2、PN=OM=OE=4，
∴AG=1
∴A（1，2）                             ………………3分
∴
小題3:AB⊥ OM                               ………………5分
代入得 B（4，），                      ………………6
∵AG：BF=OG：AF=2：3，∠AGO=∠BFA=90⁰
△OGA∽△AFB                             ………………7分
∴∠AOG=∠BAF  ∵∠AOG+∠OAG=90⁰
∴∠BAF+∠OAG=90⁰
∴ ∠OAB=90⁰                             
∴AB⊥OM                                 ………………8分
(其它方法酌情給分)
小題4:Q (1+, 2) 或Q(1－,2)                  ………………9分
Q(-1,2) 或  Q(-1.5,2)

（1）根據兩個角對應相等，即可證明兩個三角形相似；
（2）要求反比例函數的解析式，則需求得點A的坐標，即要求得AG的長，根據旋轉的兩個圖形全等的性質以及相似三角形的對應邊的比相等可以求解
（3）求出B點坐標，通過△OGA∽△AFB ，求得∠OAB=90^0，從而得出結論
(4)分別有四種情況符合條件：AQ="OA" (由兩種情況)，OQ=OA,QA=OQ