Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，2），過(guò)點(diǎn)A作直線l垂直y軸，點(diǎn)B是直線l上異于點(diǎn)A的一點(diǎn)，且∠OBA=α．過(guò)點(diǎn)B作直線l的垂線m，點(diǎn)C在直線m上，且在直線l的下方，∠OCB=2α．設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，y）．
（1）判斷△OBC的形狀，并加以證明；
（2）直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫自變量的取值范圍）；
（3）延長(zhǎng)CO交（2）中所求函數(shù)的圖象于點(diǎn)D．求證：CD=CO•DO．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）△OBC為等腰三角形．利用余角的定義求得∠CBO=90°-α．根據(jù)△BOC的內(nèi)角和定理求得∠BOC=90°-α=∠CBO．則由“等角對(duì)等邊”證得BC=OC，即△OBC為等腰三角形；
（2）如圖1，根據(jù)點(diǎn)A、C的坐標(biāo)易求B（x，2），則由（1）中的BC=OC可以列出x、y的關(guān)系式；
（3）根據(jù)題意知，點(diǎn)C、D是過(guò)原點(diǎn)的直線OCy=kx（k≠0）與拋物線y=-

1

4

x²+1的兩個(gè)交點(diǎn)．故可設(shè)C（x₁，kx₁），D（x₂，kx₂）．所以根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可以求得線段CD、CO、DO，并求得

CO•DO

CD

=1，所以易證得結(jié)論．

解答：解：（1）△OBC為等腰三角形．
證明：如圖1，∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°．
∵∠OBA=α，
∴∠CBO=90°-α．
∵∠OCB=2α，
∴∠BOC=90°-α=∠CBO．
∴BC=OC．
∴△OBC為等腰三角形．

（2）∵l⊥y軸，m⊥l，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，2），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，y），
∴B（x，2），
∵由（1）知，BC=OC，
∴

x2+y2

=|2-y|，整理得到y(tǒng)=-

1

4

x²+1．
∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=-

1

4

x²+1．

（3）證明：如圖2，設(shè)直線OC的解析式為y=kx（k≠0）．
根據(jù)題意知，點(diǎn)C、D是過(guò)原點(diǎn)的直線OC與拋物線y=-

1

4

x²+1的兩個(gè)交點(diǎn)．故可設(shè)C（x₁，kx₁），D（x₂，kx₂）．
顯然，x₁、x₂是關(guān)于x的方程kx=-

1

4

x²+1，即

1

4

x²+kx-1=0的兩個(gè)根．
∴由韋達(dá)定理，得x₁+x₂=-4k，x₁•x₂=-4，
∴x₁-x₂=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=

(x1+x2)2-4x1•x2

=

16k2+16

=4

1+k2

．
∵CD=

(x1-x2)2+(kx1-kx2)2

=|x₁-x₂|•

1+k2

，CO=

x12+(kx1)2

，DO=

x22+(kx2)2

，

∴

CO•DO

CD

=

x12+(kx1)2 • x22+(kx2)2

|x1-x2|• 1+k2

=

|x1•x2|•(1+k2)

|x1-x2|• 1+k2

=

4(1+k2)

4 1+k2 • 1+k2

=1，
∴CD=CO•DO．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)綜合題．其中涉及到了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、兩點(diǎn)間的距離公式、等腰三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)．解答（3）題時(shí)，本題采用了代數(shù)法證得結(jié)論，當(dāng)然也可以利用幾何法來(lái)證得．