Question

在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax²+bx+2的圖象與x軸交于A（-3，0），B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）點(diǎn)P是直線AC上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使△ACP的面積最大？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；
（3）點(diǎn)Q是直線AC上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Q作QE垂直于x軸，垂足為E．是否存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)B、Q、E為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題

分析：（1）把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答；
（2）先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，然后判斷出平行于AC的直線與二次函數(shù)圖象只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)△ACP的面積最大，再聯(lián)立直線與二次函數(shù)解析式，消掉y，利用根的判別式△=0時(shí)方程只有一個(gè)根求解即可；
（3）設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為c，表示出BE、QE，然后根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例，分OA和BE，OA和QE是對應(yīng)邊兩種情況列出比例式求解即可．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=ax²+bx+2的圖象與x軸交于A（-3，0），B（1，0）兩點(diǎn)，
∴

9a-3b+2=0 a+b+2=0

，
解得

a=- 2 3 b=- 4 3

，
∴二次函數(shù)的解析式為y=-

2

3

x²-

4

3

x+2；

（2）令x=0，則y=2，
∴點(diǎn)C（0，2），
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+m（k≠0），
則

-3k+m=0 m=2

，
解得

k= 2 3 m=2

，
∴直線AC的解析式為y=

2

3

x+2，
由三角形的面積可知，平行于AC的直線與二次函數(shù)圖象只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)△ACP的面積最大，
此時(shí)設(shè)過點(diǎn)P的直線為y=

2

3

x+n，
聯(lián)立

y=- 2 3 x2- 4 3 x+2 y= 2 3 x+n

，
消掉y得，-

2

3

x²-

4

3

x+2=

2

3

x+n，
整理得，2x²+6x-6+3n=0，
△=6²-4×2×（-6+3n）=0，
解得n=

7

2

，
此時(shí)x₁=x₂=-

6

2×2

=-

3

2

，
y=

2

3

×（-

3

2

）+

7

2

=

5

2

，
∴點(diǎn)P（-

3

2

，

5

2

）時(shí)，△ACP的面積最大；

（3）存在點(diǎn)Q（-2，2）或（-

3

4

，

21

8

）使以點(diǎn)B、Q、E為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似．
理由如下：設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為c，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（c，-

2

3

c²-

4

3

c+2），
BE=1-c，
①OA和BE是對應(yīng)邊時(shí)，∵△BEQ∽△AOC，
∴

OA

BE

=

OC

QE

，
即

3

1-c

=

2

- 2 3 c2- 4 3 c+2

，
整理得，c²+c-2=0，
解得c₁=-2，c₂=1（舍去），
此時(shí)，-

2

3

×（-2）²-

4

3

×（-2）+2=2，
點(diǎn)Q（-2，2）；
②OA和QE是對應(yīng)邊時(shí)，∵△QEB∽△AOC，
∴

OA

QE

=

OC

BE

，
即

3

- 2 3 c2- 4 3 c+2

=

2

1-c

，
整理得，4c²-c-3=0，
解得c₁=-

3

4

，c₂=1（舍去），
此時(shí)，-

2

3

×（-

3

4

）²-

4

3

×（-

3

4

）+2=

21

8

，
點(diǎn)Q（-

3

4

，

21

8

），
綜上所述，存在點(diǎn)Q（-2，2）或（-

3

4

，

21

8

）使以點(diǎn)B、Q、E為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，三角形的面積，相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，（2）判斷出與AC平行的直線與二次函數(shù)圖象只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)三角形的面積最大是解題的關(guān)鍵，（3）要分情況討論．