Question

如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓，AB，DC延長線交于E，AD、BC延長線交于F，P為圓上任意一點(diǎn)，PE，PF分別交圓于R，S．若對角線AC與BD相交于T．求證：R，T，S三點(diǎn)共線．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：連接PD，AS，RC，BR，AP，SD．由△EBR∽△EPA，△FDS∽△FPA，知

BR

PA

=

EB

EP

，

PA

DS

=

FP

FD

，則

BR

DS

=

EB•FP

EP•FD

①；又由△ECR∽△EPD，△FPD∽△FAS，知

CR

PD

=

EC

EP

，

PD

AS

=

FP

FA

，則

CR

AS

=

EC•FP

EP•FA

②；由①，②得

BR•AS

DS•CR

=

EB•FA

EC•FD

．故

BR

RC

•

CD

DS

•

SA

AB

=

EB

BA

•

AF

FD

•

DC

CE

③，對△EAD應(yīng)用梅涅勞斯定理，有

EB

BA

•

AF

FD

•

DC

CE

=1④由③，④得

BR

RC

•

CD

DS

•

SA

AB

=1．由此得到結(jié)論．

解答：證明：如圖，
連接PD，AS，RC，BR，AP，SD．
由△EBR∽△EPA，△FDS∽△FPA，知

BR

PA

=

EB

EP

，

PA

DS

=

FP

FD

．
兩式相乘，得

BR

DS

=

EB•FP

EP•FD

①，
又由△ECR∽△EPD，△FPD∽△FAS，知

CR

PD

=

EC

EP

，

PD

AS

=

FP

FA

．兩式相乘，得

CR

AS

=

EC•FP

EP•FA

②，
由①，②得

BR•AS

DS•CR

=

EB•FA

EC•FD

．故

BR

RC

•

CD

DS

•

SA

AB

=

EB

BA

•

AF

FD

•

DC

CE

③，
對△EAD應(yīng)用梅涅勞斯定理，有

EB

BA

•

AF

FD

•

DC

CE

=1④
由③，④得

BR

RC

•

CD

DS

•

SA

AB

=1．
∴BD，RS，AC交于一點(diǎn)，
所以R，T，S三點(diǎn)共線．

點(diǎn)評：本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)：有兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；相似三角形的對應(yīng)邊的比相等．也考查了梅涅勞斯定理及其引理以及比例的性質(zhì)．