Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+2交x軸于A（﹣1，0），B（4，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，與過點(diǎn)C且平行于x軸的直線交于另一點(diǎn)D，點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．

（1）求拋物線解析式及點(diǎn)D坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)E在x軸上，若以A，E，D，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）過點(diǎn)P作直線CD的垂線，垂足為Q，若將△CPQ沿CP翻折，點(diǎn)Q的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Q′．是否存在點(diǎn)P，使Q′恰好落在x軸上？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）y=﹣x²+x+2，點(diǎn)D坐標(biāo)為（3，2）（2）p₁（0，2）；p₂（，﹣2）；p₃（，﹣2）（3）點(diǎn)P坐標(biāo)為（，），（﹣，）．

試題分析：（1）∵拋物線y=ax²+bx+2經(jīng)過A（﹣1，0），B（4，0）兩點(diǎn)，
∴，
解得：
∴y=﹣x²+x+2；
當(dāng)y=2時(shí)，﹣x²+x+2=2，解得：x₁=3，x₂=0（舍），
即：點(diǎn)D坐標(biāo)為（3，2）．
（2）A，E兩點(diǎn)都在x軸上，AE有兩種可能：
①當(dāng)AE為一邊時(shí)，AE∥PD，
∴P₁（0，2），
②當(dāng)AE為對(duì)角線時(shí)，根據(jù)平行四邊形對(duì)頂點(diǎn)到另一條對(duì)角線距離相等，
可知P點(diǎn)、D點(diǎn)到直線AE（即x軸）的距離相等，
∴P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為﹣2，
代入拋物線的解析式：﹣x²+ x+2=﹣2
解得：x₁=，x₂=，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（，﹣2），（，﹣2）
綜上所述：p₁（0，2）；p₂（，﹣2）；p₃（，﹣2）．
(3)存在滿足條件的點(diǎn)P，顯然點(diǎn)P在直線CD下方，設(shè)直線PQ交x軸于F，
點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，﹣a²+ a+2），

①當(dāng)P點(diǎn)在y軸右側(cè)時(shí)（如圖1），CQ=a，
PQ=2﹣（﹣a²+a+2）=a²﹣a，
又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°，∠COQ′=∠Q′FP=90°，
∴∠FQ′P=∠OCQ′，
∴△COQ′～△Q′FP，，，
∴Q′F=a﹣3，
∴OQ′=OF﹣Q′F=a﹣（a﹣3）=3，CQ=CQ′==，
此時(shí)a= ，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，），
②當(dāng)P點(diǎn)在y軸左側(cè)時(shí)（如圖2）此時(shí)a＜0，，﹣a²+ a+2＜0，CQ=﹣a，
PQ=2﹣（﹣a²+a+2）=a²﹣a，
又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°，∠CQ′O+∠OCQ′=90°，
∴∠FQ′P=∠OCQ′，∠COQ′=∠Q′FP=90°，
∴△COQ′～△Q′FP，，，Q′F=3﹣a，
∴OQ′=3，
CQ=CQ′=，
此時(shí)a=﹣，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣，）．
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為（，），（﹣，）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)，相似三角形，本題需要考生掌握待定系數(shù)法，會(huì)用待定系數(shù)法求解析式，掌握相似三角形的判定方法，會(huì)證明兩個(gè)三角形相似