(2013•大慶)如圖所示,在直角梯形ABCD中,AB為垂直于底邊的腰,AD=1,BC=2,AB=3,點(diǎn)E為CD上異于C,D的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)E作AB的垂線,垂足為F,△ADE,△AEB,△BCE的面積分別為S1,S2,S3
(1)設(shè)AF=x,試用x表示S1與S3的乘積S1S3,并求S1S3的最大值;
(2)設(shè)
AFFB
=t,試用t表示EF的長(zhǎng);
(3)在(2)的條件下,當(dāng)t為何值時(shí),S22=4S1S3
分析:(1)直接根據(jù)三角形的面積公式解答即可;
(2)作DM⊥BC,垂足為M,DM與EF交與點(diǎn)N,根據(jù)
AF
FB
=t,可知AF=tFB,再由BM=MC=AD=1可得出
NE
MC
=
DN
DM
=
AF
AF+FB
=
tFB
tFB+FB
=
t
t+1
,所以NE=
t
t+1
,根據(jù)EF=FN+NE即可得出結(jié)論;
(3)根據(jù)AB=AF+FB=(t+1)FB=3,可得出FB=
3
t+1
,故可得出AF=tFB=
3t
t+1
,根據(jù)三角形的面積公式可用t表示出S1,S3,S2,由s22=4S1S3.即可得出t的值.
解答:解:(1)∵S1=
1
2
AD•AF=
1
2
x,
S3=
1
2
BC•BF=
1
2
×2×(3-x)=3-x,
∴S1S3=
1
2
x(3-x)
=
1
2
(-x2+3x)
=
1
2
[-(x-
3
2
2+
9
4
]
=-
1
2
(x-
3
2
2+
9
8
(0<x<3),
∴當(dāng)x=
3
2
時(shí),S1S3的最大值為
9
8
;

(2)作DM⊥BC,垂足為M,DM與EF交與點(diǎn)N,
AF
FB
=t,
∴AF=tFB,
∵BM=MC=AD=1,
NE
MC
=
DN
DM
=
AF
AF+FB
=
tFB
tFB+FB
=
t
t+1
,
∴NE=
t
t+1
,
∴EF=FN+NE=1+
t
t+1
=
2t+1
t+1


(3)∵AB=AF+FB=(t+1)FB=3,
∴FB=
3
t+1

∴AF=tFB=
3t
t+1
,
∴S1=
1
2
AD•AF=
1
2
×
3t
t+1
=
3t
2(t+1)

S3=
1
2
BC•FB=
1
2
×2×
3
t+1
=
3
t+1
;
S2=
1
2
AB•FE=
1
2
×3×
2t+1
t+1
=
3(2t+1)
2(t+1)
,
∴S1S3=
9t
2(t+1)2
,S22=
9(2t+1)2
4(t+1)2
,
9(2t+1)2
4(t+1)2
=4×
9t
2(t+1)2
,即4t2-4t+1=0,解得t=
1
2
點(diǎn)評(píng):本題考查的是相似形綜合題,熟知三角形的面積公式、二次函數(shù)的最值問(wèn)題等相關(guān)知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵.
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k2x
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AB
AC
所對(duì)的圓心角均為120°,則圖中陰影部分的面積為
3
12
3
12

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3
)為圓心,以2為半徑的圓與x軸交于A,B兩點(diǎn).
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(1)求DE的長(zhǎng);
(2)過(guò)點(diǎn)C作AB的平行線l,l與BD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F,求
FDDB
的值.

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