6.如圖,CD是圓O的弦,AB是直徑,且CD⊥AB,垂足為P.
(1)求證:PC2=PA•PB;
(2)PA=6,PC=3,求圓O的直徑.

分析 (1)連接AC、BC,結(jié)合條件和垂徑定理可證明△APC∽△CPB,利用相似三角形的性質(zhì)可證得PC2=PA•PB;
(2)把PA、PC的長代入(1)中的結(jié)論,可求得PB,則可求得AB的長.

解答 (1)證明:
如圖,連接AC、BC,

∵CD⊥AB,AB是直徑,
∴$\widehat{BC}$=$\widehat{BD}$,
∴∠CAB=∠BCP,
∵∠CPA=∠CPB=90°,
∴△APC∽△CPB,
∴$\frac{PA}{PC}$=$\frac{PC}{PB}$,即PC2=PA•PB;
(2)解:
將PA=6,PC=3,代入PC2=PA•PB,可得32=6PB,
∴PB=1.5,
∴AB=PA+PB=6+1.5=7.5,
即圓的直徑為7.5.

點(diǎn)評 本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)及垂徑定理,利用條件構(gòu)造三角形相似是解題的關(guān)鍵.

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