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14.如圖,在△ABC中,AD為BC邊上的中線,若∠BAC<90°,作EA⊥AC,FA⊥BA,且AE=AC,AF=AB.連接EF,寫出AD與EF的數量關系,并證明.

分析 首先延長AD到G,使得DG=AD,連接BG,易證得△ACD≌△GBD(SAS),則可得∠DBG=∠C,BG=AC,又由EA⊥AC,FA⊥BA,且AE=AC,AF=AB,可證得∠EAF=∠ABG,AE=BG,繼而證得△AEF≌△BGA(SAS),則可證得結論.

解答 解:EF=2AD.
理由:延長AD到G,使得DG=AD,連接BG,
∵AD為BC邊上的中線,
∴BD=CD,
在△ACD和△GBD中,
$\left\{\begin{array}{l}{AD=GD}\\{∠ADC=∠GDB}\\{CD=BD}\end{array}\right.$,
∴△ACD≌△GBD(SAS),
∴∠DBG=∠C,BG=AC,
∵EA⊥AC,FA⊥BA,
∴∠EAC=∠FAB=90°,
∴∠EAF=∠EAC+∠FAB-∠BAC=180°-∠BAC,
∵∠ABG=∠ABC+∠GBC=∠ABC+∠C=180°-∠BAC,
∴∠EAF=∠ABG,
∵AE=AC,AF=AB,
∴AE=BG,
在△AEF和△BGA中,
$\left\{\begin{array}{l}{AE=BG}\\{∠EAF=∠GBA}\\{AF=AB}\end{array}\right.$,
∴△AEF≌△BGA(SAS),
∴EF=AG=2AD.

點評 此題考查了全等三角形的判定與性質.注意準確作出輔助線是解此題的關鍵.

練習冊系列答案
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