Question

14．如圖，Rt△ABC 中，AB=6，AC=8．動(dòng)點(diǎn) E，F(xiàn) 同時(shí)分別從點(diǎn) A，B 出發(fā)，分別沿著射線 AC 和射線 BC的方向均以每秒 1 個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，連接 EF，以 EF 為直徑作⊙O 交射線 BC 于點(diǎn) M，連接 EM，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（t＞0）．

（1）BC=10，cos∠ABC=$\frac{3}{5}$．（直接寫出答案）
（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí)，用關(guān)于t的代數(shù)式表示 CE，CM．
（3）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn) E、F、M 為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn) A、B、C 為頂點(diǎn)的三角形相似．

Answer 1

分析 （1）先利用勾股定理計(jì)算出BC，然后根據(jù)余弦的定義求cos∠ABC的值；
（2）當(dāng)點(diǎn) E 在線段 AC 上時(shí)，0＜t≤8．根據(jù)題意，可知 AE=t，則 CE=AC-AE=8-t，利用圓周角定理得∠EMF=90°．則可證得△CEM∽△CBA，利用相似比可表示出CM；
（3）討論：當(dāng)E點(diǎn)在線段 AC 上，（0＜t≤8），先由△CEM∽△CBA，利用相似比可表示出EM=$\frac{24-3t}{5}$，則FM=$\frac{18-t}{5}$，①若∠EFM=∠B時(shí)，△MFE∽△ABC，利用相似比可求出t=0（舍去）；②若∠EFM=∠ACB時(shí)，△MEF∽△ABC，利用相似比可求得t=$\frac{14}{3}$（s）；當(dāng)E點(diǎn)在線段AC的延長(zhǎng)線上，t＞8，若點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，易得t=10（s）；若點(diǎn)F移動(dòng)到BC的延長(zhǎng)線上，且CM＞CF，如圖3，CE=t-8，CF=t-10，由△ABC∽△MEC，利用相似比可表示出CM=$\frac{4t-32}{5}$，EM=$\frac{3t-24}{5}$，當(dāng)CF＜CM，則FM=CM-CF=$\frac{18-t}{5}$，則當(dāng)∠EFM=∠B時(shí)，△MFE∽△ABC，于是利用相似比可求出t=$\frac{144}{13}$（s）；當(dāng)CF＞CM，則FM=CF-CM=$\frac{t-18}{5}$，則當(dāng)∠EFM=∠B時(shí)，△MFE∽△ABC，利用相似比求得t=0（舍去），綜上所述，當(dāng)t=$\frac{14}{3}$s，10s或$\frac{144}{13}$s時(shí)，以點(diǎn) E、F、M 為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn) A、B、C 為頂點(diǎn)的三角形相似．

解答 解：（1）∵AB=6，AC=8，∠A=90°，
∴BC=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴cos∠ABC=$\frac{AB}{BC}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$；
故答案為10，$\frac{3}{5}$；
（2）當(dāng)點(diǎn) E 在線段 AC 上時(shí)，0＜t≤8．根據(jù)題意，可知 AE=t，則 CE=AC-AE=8-t，
∵EF 為直徑，
∴∠EMF=90°．
∵∠ECM=∠BCA，
∴△CEM∽△CBA，
∴$\frac{CM}{CA}$=$\frac{CE}{CB}$，即$\frac{CM}{8}$=$\frac{8-t}{10}$，
∴CM=$\frac{32-4t}{5}$；
（3）∵△CEM∽△CBA，
∴$\frac{EM}{AB}$=$\frac{CE}{CB}$，即$\frac{EM}{6}$=$\frac{8-t}{10}$，解得EM=$\frac{24-3t}{5}$，
FM=BC-BF-CM=10-t-$\frac{32-4t}{5}$=$\frac{18-t}{5}$，
當(dāng)E點(diǎn)在線段 AC 上，（0＜t≤8），
①若∠EFM=∠B時(shí)，△MFE∽△ABC，
∴$\frac{EM}{AC}$=$\frac{FM}{AB}$，即$\frac{\frac{24-3t}{5}}{8}$=$\frac{\frac{18-t}{5}}{6}$，解得t=0（舍去）；
②若∠EFM=∠ACB時(shí)，△MEF∽△ABC，
∴$\frac{EM}{AB}$=$\frac{FM}{AC}$，即$\frac{\frac{24-3t}{5}}{6}$=$\frac{\frac{18-t}{5}}{8}$，解得t=$\frac{14}{3}$（s）；
當(dāng)E點(diǎn)在線段AC的延長(zhǎng)線上，t＞8，
若點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，
∵∠EFM=∠ACB，∠CME=∠A，
∴△MEF∽△ABC，此時(shí)t=10（s）；
若點(diǎn)F移動(dòng)到BC的延長(zhǎng)線上，且CM＞CF，如圖3，CE=t-8，CF=t-10，
∵△ABC∽△MEC，
∴$\frac{CM}{AC}$=$\frac{EM}{AB}$=$\frac{CE}{BC}$，即$\frac{CM}{8}$=$\frac{EM}{6}$=$\frac{t-8}{10}$，
∴CM=$\frac{4t-32}{5}$，EM=$\frac{3t-24}{5}$，
當(dāng)CF＜CM，則FM=CM-CF=$\frac{4t-32}{5}$-（t-10）=$\frac{18-t}{5}$，
若∠EFM=∠B時(shí)，△MFE∽△ABC，則$\frac{EM}{AC}$=$\frac{FM}{AB}$，
即$\frac{\frac{3t-24}{5}}{8}$=$\frac{\frac{18-t}{5}}{6}$，解得t=$\frac{144}{13}$（s）；
當(dāng)CF＞CM，則FM=CF-CM=t-10-$\frac{4t-32}{5}$=$\frac{t-18}{5}$，
若∠EFM=∠B時(shí)，△MFE∽△ABC，則$\frac{EM}{AC}$=$\frac{FM}{AB}$，
即$\frac{\frac{3t-24}{5}}{8}$=$\frac{\frac{t-18}{5}}{6}$，解得t=0（舍去），
綜上所述，當(dāng)t=$\frac{14}{3}$s，10s或$\frac{144}{13}$s時(shí)，以點(diǎn) E、F、M 為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn) A、B、C 為頂點(diǎn)的三角形相似．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的綜合題：熟練掌握?qǐng)A周角定理和相似三角形的判定與性質(zhì)；會(huì)運(yùn)用相似比表示兩線段之間的關(guān)系和計(jì)算線段的長(zhǎng)；會(huì)運(yùn)用分類討論的思想數(shù)學(xué)解決問(wèn)題．