已知:直角梯形OABC中,BCOA,∠AOC=90°,以AB為直徑的圓M交OC于D、E,連接AD、BD.直角梯形OABC中,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),A在x軸正半軸上建立直角坐標(biāo)系,若拋物線y=ax2-2ax-3a(a<0)經(jīng)過點(diǎn)A、B、D,且B為拋物線的頂點(diǎn).
①寫出頂點(diǎn)B的坐標(biāo)(用a的代數(shù)式表示)______.
②求拋物線的解析式.
③在x軸下方的拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)P:過點(diǎn)P做PN⊥x軸于N,使得△PAN與△OAD相似?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
①函數(shù)y=ax2-2ax-3a的對(duì)稱軸x=1,代入解析式可得y=-4a,
所以頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-4a);
故答案為(1,-4a);

②∵∠BCD=∠AOD=90°,
∠CBD+∠BDC=∠ADO+∠BDC=90°,
即∠CBD=∠ADO,
∴△OAD△CDB,
DC
OA
=
CB
OD

∵ax2-2ax-3a=0,可得A(3,0),
又OC=-4a,OD=-3a,CD=-a,CB=1,
1
-3a
=
-a
3

∴a2=1,
∵a<0,
∴a=-1,
故拋物線的解析式為:y=-x2+2x+3.

③存在,設(shè)P(x,-x2+2x+3),
∵△PAN與△OAD相似,且△OAD為等腰三角形,
∴PN=AN,當(dāng)x<0(x<-1)時(shí),
-x+3=-(-x2+2x+3),
x1=-2,x2=3(舍去),
∴P(-2,-5),
當(dāng)x>0(x>3)時(shí),
x-3=-(-x2+2x+3),
x1=0,x2=3(都不合題意舍去),
符合條件的點(diǎn)P為(-2,-5).
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=kx+5與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,與拋物線y=ax2+bx交于點(diǎn)C、D.已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,7),點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為5.
(1)求直線與拋物線的解析式;
(2)將此拋物線沿對(duì)稱軸向下平移幾個(gè)單位,拋物線與直線AB只有一個(gè)交點(diǎn)?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知:在如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系xOy中,A,C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2,3),C(n,-3)(其中n>0),點(diǎn)B在x軸的正半軸上.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā),在四邊形OABC的邊上依次沿O-A-B-C的順序向點(diǎn)C移動(dòng),當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P移動(dòng)的路徑的長(zhǎng)為l,△POC的面積為S,S與l的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖2所示,其中四邊形ODEF是等腰梯形.

(1)結(jié)合以上信息及圖2填空:圖2中的m=______;
(2)求B,C兩點(diǎn)的坐標(biāo)及圖2中OF的長(zhǎng);
(3)在圖1中,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P恰為經(jīng)過O,B兩點(diǎn)的拋物線W的頂點(diǎn)時(shí),
①求此拋物線W的解析式;
②若點(diǎn)Q在直線y=-1上方的拋物線W上,坐標(biāo)平面內(nèi)另有一點(diǎn)R,滿足以B,P,Q,R四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形,求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知:如圖,拋物線y=-
3
3
x2+mx+
3
與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,A點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0)
(1)求m的值和點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)過A、B、C的三點(diǎn)的⊙M交y軸于另一點(diǎn)D,設(shè)P為弧CBD上的動(dòng)點(diǎn)P(P不與C、D重合),連接AP交y軸于點(diǎn)H,問是否存在一個(gè)常數(shù)k,始終滿足AH•AP=k?如果存在,請(qǐng)求出常數(shù)k;如果不存在,請(qǐng)說明理由;
(3)連接DM并延長(zhǎng)交BC于N,交⊙M于點(diǎn)E,過E點(diǎn)的⊙M的切線分別交x軸、y軸于點(diǎn)F、G,試探究BC與FG的位置關(guān)系,并求直線FG的解析式.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,以點(diǎn)A(3,0)為圓心,以5為半徑的圓與x軸相交于B、C,與y軸相交于點(diǎn)D、E.若拋物線y=
1
4
x2+bx+c
經(jīng)過C、D兩點(diǎn),求拋物線的解析式,并判斷點(diǎn)B是否在拋物線上.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

改革開放后,不少農(nóng)村用上了自動(dòng)噴灌設(shè)備.如圖所示,AB表示水管,在B處有一個(gè)自動(dòng)旋轉(zhuǎn)的噴水頭,一瞬間噴出的水是拋物線狀,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系后,拋物線的表達(dá)式為y=-
1
2
x2+2x+
3
2

(1)當(dāng)x=1時(shí),噴出的水離地面多高?
(2)你能求出水的落地點(diǎn)距水管底部A的最遠(yuǎn)距離嗎?
(3)水管有多高?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)(A在B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C(0,4),頂點(diǎn)為(1,
9
2
).
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D,試在對(duì)稱軸上找出點(diǎn)P,使△CDP為等腰三角形,請(qǐng)直接寫出滿足條件的所有點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)若點(diǎn)E是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與A、B不重合),分別連接AC、BC,過點(diǎn)E作EFAC交線段BC于點(diǎn)F,連接CE,記△CEF的面積為S,S是否存在最大值?若存在,求出S的最大值及此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知:如圖,△ABC是邊長(zhǎng)3cm的等邊三角形,動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā),分別沿AB、BC方向勻速移動(dòng),它們的速度都是1cm/s,當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí),P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s),解答下列問題:
(1)當(dāng)t為何值時(shí),△PBQ是直角三角形?
(2)設(shè)四邊形APQC的面積為y(cm2),求y與t的關(guān)系式;是否存在某一時(shí)刻t,使四邊形APQC的面積是△ABC面積的三分之二?如果存在,求出相應(yīng)的t值;不存在,說明理由;
(3)設(shè)PQ的長(zhǎng)為x(cm),試確定y與x之間的關(guān)系式.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖所示,工人師傅要用長(zhǎng)2米寬10厘米的塑鋼條作窗戶內(nèi)的橫、縱梁(沒有余料)要使窗戶內(nèi)的透光部分面積最大,問窗戶的兩邊長(zhǎng)分別為多少?

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案