Question

【題目】如圖，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°

（1）利用尺規(guī)作∠ABC 的平分線，交AC 于點(diǎn)O，再以O 為圓心，OC 的長為半徑作⊙O(保留作圖痕跡，不寫作法)；

（2）在你所作的圖中，①判斷AB 與⊙O 的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；②若AC＝12，tan∠OBC＝，求⊙O 的半徑。

Answer 1

【答案】(1)作圖見解析；（2）①AB與⊙O相切，理由見解析；②．

【解析】

試題分析：（1）只需按照題目的要求畫圖即可；

（2）①過點(diǎn)O作OD⊥AB，垂足為D，如圖所示，只需證明OD=OC即可；

②在Rt△OBC中，運(yùn)用三角函數(shù)可求出，從而得到，易證Rt△ADO∽Rt△ACB，運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)可求得AD=8，然后在Rt△ADO中運(yùn)用勾股定理即可解決問題．

試題解析：（1）如圖，⊙O即為所求作；

（2）AB與⊙O相切，理由如下：

過點(diǎn)O作OD⊥AB，垂足為D，如圖所示．

∵∠ACB=90°，∴OC⊥BC．

∵BO是∠ABC的平分線，OD⊥AB，OC⊥BC，

∴OC=OD．

∴AB與⊙O相切；

（3）在Rt△OBC中，

tan∠OBC=，

∴．

又∵∠ADO=∠ACB=90°，∠A=∠A，

∴Rt△ADO∽Rt△ACB，

∴，

∴AD=AC=×12=8．

設(shè)⊙O的半徑為r，則OD=OC=r，AO=12-r．

在Rt△ADO中，

根據(jù)勾股定理可得r2+82=（12-r）2，

解得r=，

∴⊙O的半徑是．