Question

17．如圖，已知在四邊形ABCD中，AB⊥CB于B，DC⊥BC于C，DE平分∠ADC，且E為BC的中點(diǎn)．
（1）求證：AE平分∠BAD；
（2）求∠AED的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）過點(diǎn)E作EF⊥AD于F，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得CE=EF，再求出BE=EF，然后根據(jù)到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上證明；
（2）求出DC∥AB，求出∠CDA+∠BAD=180°，根據(jù)角平分線定義得出∠EAD=$\frac{1}{2}$∠BAD，∠EDA=$\frac{1}{2}$∠CDA，求出∠EAD+∠EDA=90°，即可求出答案．

解答 （1）證明：如圖，過點(diǎn)E作EF⊥AD于F，
∵∠C=90°，DE平分∠ADC，
∴CE=EF，
∵E是BC的中點(diǎn)，
∴BE=CE，
∴BE=EF，
又∵∠B=90°，EF⊥AD，
∴AE平分∠BAD；

（2）解：∵∠C=∠B=90°，
∴∠D+∠B=180°，
∴DC∥AB，
∴∠CDA+∠BAD=180°，
∵DE平分∠ADC，AE平分∠BAD，
∴∠EAD=$\frac{1}{2}$∠BAD，∠EDA=$\frac{1}{2}$∠CDA，
∴∠EAD+∠EDA=90°，
∴∠AED=180°-90°=90°．

點(diǎn)評 本題考查了角平分線性質(zhì)，平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等和到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．