Question

若實(shí)數(shù)a滿足a2+2a-1+

2

a

+

1

a2

=0，則a+

1

a

=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：完全平方公式

專題：計(jì)算題,換元法

分析：先把原等式變形為a²+

1

a2

+2（a+

1

a

）-1=0，根據(jù)完全平方公式得到∴（a+

1

a

）²-2+2（a+

1

a

）-1=0，利用換元法設(shè)a+

1

a

=x，則有方程x²+2x-3=0，解方程得x₁=1，x₂=-3，分別把x=1或-3代入設(shè)a+

1

a

=x，由于x=1，則a+

1

a

=1，得到a²-a+1=0，而△=1-4=-3＜0，所以a+

1

a

的值為-3．

解答：解：∵實(shí)數(shù)a滿足a2+2a-1+

2

a

+

1

a2

=0，
∴a²+

1

a2

+2（a+

1

a

）-1=0，
∴（a+

1

a

）²-2+2（a+

1

a

）-1=0，
設(shè)a+

1

a

=x，
∴x²+2x-3=0，
∴x₁=1，x₂=-3，
當(dāng)x=1，則a+

1

a

=1，
∴a²-a+1=0，
∵△=1-4=-3＜0，
∴此方程無(wú)實(shí)數(shù)根；
當(dāng)x=-3，則a+

1

a

=-3
∴a²+3a+1=0，
∴△=9-1=8＞0，
∴此方程有不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
所以a+

1

a

=-3．
故答案為-3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了完全平方公式：a²±2ab+b²=（a±b）²．也考查了倒數(shù)的定義、一元二次方程的根的判別式和解法以及換元法的運(yùn)用．