Question

（1）正方形ABCD與等腰直角三角形PAQ如圖1所示重疊在一起，其中∠PAQ=90°，點(diǎn)Q在BC上，連接PD，△ADP與△ABQ全等嗎？請說明理由．
（2）如圖2，O為正方形ABCD對角線的交點(diǎn)，將一直角三角板FPQ的直角頂點(diǎn)F與點(diǎn)O重合轉(zhuǎn)動三角板使兩直角邊始終與BC、AB相交于點(diǎn)M、N，使探索OM與ON的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（3）如圖3，將（2）中的“正方形”改成“長方形”，其它的條件不變，且AB=4，AD=6，F(xiàn)M=x，F(xiàn)N=y，試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)就可以求得△ADP與△ABQ全等；
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)就可以得△ANO≌△BMO，從而得出ON=OM；
（3）過點(diǎn)O作OE⊥AB于E，O H⊥BC于H，由條件求出OE、OH的值，再通過證明△OEN∽△OHM，利用相似三角形的性質(zhì)就可以求出結(jié)論．

解答：解：（1）△ADP≌△ABQ．
理由：如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠ADP=∠BAD=90°
∵△PAQ是等腰直角三角形，
∴AQ=AP．
∵∠PAQ=90°，
∴∠BAD=∠PAQ，
∴∠BAD-∠QAD=∠PAQ-∠QAD，
∴∠BAQ=∠PAD．
∵在△ADP和△ABQ中，

∠BAQ=∠PAD AB=AD ∠B=∠ADP

，
∴△ADP≌△ABQ（ASA）；

（2）OM=ON．
理由：如圖2，∵四邊形ABCD是正方形，
∴AO=BO，∠AOB=90°，∠OAB=∠OBC=45°．
∴∠AOB=∠POQ，
∴∠AOB-∠NOB=∠POQ-∠NOB，
∴∠AON=∠BOM
∵在△AON和△BOM中，

∠AON=∠BOM AO=BO ∠OAB=∠OBC

，
∴△AON≌△BOM（ASA）
∴OM=ON；

（3）如圖4，過點(diǎn)O作OE⊥AB于E，O H⊥BC于H，
∴∠OEN=∠OHM=90°，OE=

1

2

AD，OH=

1

2

AB．
∵AB=4，AD=6，
∴OE=3，OH=2．
∵∠ABC=90°，
∴四邊形EBHO是矩形，
∴∠EOH=90°，
∴∠EOH=∠POQ，
∴∠EOH-∠EOM=∠POQ-∠EOM，
∴∠EON=∠HOM．
∴△OEN∽△OHM，
∴

OE

OH

=

ON

OM

．
∵OM=x，ON=y，
∴

3

2

=

y

x

，
∴y=

3

2

x．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，在求函數(shù)的解析式時證明三角形相似是關(guān)鍵．