Question

4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，Rt△ABC的直角頂點(diǎn)C在拋物線y=ax²+bx上運(yùn)動(dòng)，斜邊AB垂直于y軸，且AB=8，∠ABC=60°，當(dāng)Rt△ABC的斜邊AB落在x軸上時(shí)，B點(diǎn)坐標(biāo)是（-3，0），A點(diǎn)恰在拋物線y=ax²+bx上．
（1）AB邊上的高線CD的長(zhǎng)為2$\sqrt{3}$；
（2）Rt△ABC在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中有可能被y軸分成兩部分，當(dāng)這兩部分的面積相等時(shí)，求頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）P、M、N是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)且MN∥x軸（M在N的右側(cè)），是否存在一個(gè)△PMN≌△CBA（點(diǎn)P與點(diǎn)C對(duì)應(yīng)）？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠A=∠BCD=30°，然后根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出BC、BD，再利用勾股定理列式計(jì)算即可得解；
（2）根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)和AB的長(zhǎng)度求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答；
（3）設(shè)AB、BC與y軸的交點(diǎn)分別為E、F，然后利用三角形的面積求出BE，再表示出DE，從而得到點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)C在拋物線上，把點(diǎn)C的橫坐標(biāo)代入拋物線求解得到點(diǎn)C的縱坐標(biāo)即可得解．
（4）如圖2中，不存在一個(gè)△PMN≌△CBA（點(diǎn)P與點(diǎn)C對(duì)應(yīng)），假設(shè)存在△PMN≌△CBA，作PH⊥MN于H．先求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，再求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，證明點(diǎn)P不在拋物線的圖象上，即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）∵∠CAB=60°，CD是斜邊AB上的高，
∴∠B=∠ACD=90°-60°=30°，
∴AC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×8=4，
AD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×4=2，
在Rt△ACD中，CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$；
故答案為2$\sqrt{3}$．

（2）∵點(diǎn)B坐標(biāo)是（-3，0），AB=8，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（ 5，0），
∴OB=3，BD=2，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1，2$\sqrt{3}$），
∵點(diǎn)A（ 5，0），C（-1，2$\sqrt{3}$）都在拋物線y=ax²+bx上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{25a+5b=0}\\{a-b=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=-\frac{5\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
所以，拋物線解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$x；

（3）如圖1中，設(shè)AB、BC與y軸的交點(diǎn)分別為E、F，

則EF=AE•tanA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AE，
∵Rt△ABC被y軸分成兩部分，
∴$\frac{1}{2}$AE•EF=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$AB•CD，
即 $\frac{1}{2}$AE•$\frac{\sqrt{3}}{3}$AE=4$\sqrt{3}$，
解AE=2$\sqrt{6}$，
又∵AD=AB-BD=8-2=6，
∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為-（6-2$\sqrt{6}$）=-6+2$\sqrt{6}$，
∵點(diǎn)C在拋物線y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$x上，
∴y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（-6+2$\sqrt{6}$）²-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$（-6+2$\sqrt{6}$）=30$\sqrt{3}$-34$\sqrt{2}$，
所以，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-6+2$\sqrt{6}$，30$\sqrt{3}$-34$\sqrt{2}$）．

（4）如圖2中，不存在一個(gè)△PMN≌△CBA（點(diǎn)P與點(diǎn)C對(duì)應(yīng)）．理由如下，
假設(shè)存在△PMN≌△CBA，作PH⊥MN于H．

∵拋物線解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$x的對(duì)稱(chēng)軸x=$\frac{5}{2}$，
∵M(jìn)N=AB=8，
∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為$\frac{5}{2}$+4=$\frac{13}{2}$，
∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為$\frac{\sqrt{3}}{3}$×（$\frac{13}{2}$）²-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$×$\frac{13}{2}$=$\frac{13\sqrt{3}}{4}$，
∴M（$\frac{13}{2}$，$\frac{13\sqrt{3}}{4}$），
∵△PMN≌△CBA，
∴PH=2$\sqrt{3}$HM=2，
∴P（$\frac{9}{2}$，$\frac{5\sqrt{3}}{4}$），
對(duì)于拋物線y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$x，當(dāng)x=$\frac{9}{2}$時(shí)，y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×（$\frac{9}{2}$）²-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$×$\frac{9}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∴點(diǎn)P不在拋物線的圖象上．
∴不存在一個(gè)△PMN≌△CBA．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，（2）表示出點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，（3）難點(diǎn)在于利用三角形的面積求出點(diǎn)B到y(tǒng)軸的距離，即BE的長(zhǎng)度，（4）關(guān)鍵是假設(shè)存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，判斷點(diǎn)P是否在拋物線的圖象上即可，本題有難度，屬于中考?jí)狠S題．