Question

如圖，在正方形ABCD中，點P是AB的中點，BE⊥DP的延長線于點E，連接AE，過點A作FA⊥AE交DP于點F，連接BF、FC．下列結(jié)論中：①△ABE≌△ADF；②PF=EP+EB；③△BCF是等邊三角形；④∠ADF=∠DCF；⑤S_△APF=S_△CDF．其中正確的是（　　）

• A、①②③
• B、①②④
• C、②④⑤
• D、①③⑤

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：幾何綜合題

分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AD，再根據(jù)同角的余角相等求出∠BAE=∠DAF，再根據(jù)等角的余角相等求出∠ABE=∠ADF，然后利用“角邊角”證明△ABE≌△ADF；根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AE=AF，判斷出△AEF是等腰直角三角形，過點A作AM⊥EF于M，根據(jù)等腰直角三角形點的性質(zhì)可得AM=MF，再根據(jù)點P是AB的中點得到AP=BP，然后利用“角角邊”證明△APM和△BPE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BE=AM，EP=MP，然后求出PF=EP+EB；根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等求出DF=BE=AM，再根據(jù)同角的余角相等求出∠DAM=∠CDF，然后利用“邊角邊”證明△ADM和△DCF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠ADF=∠DCF，∠CFD=∠DMA=90°；再求出CD≠CF，判定△BCF不是等邊三角形；求出CF＞FP，AM=DF，然后求出S_△APF＜S_△CDF．

解答：解：在正方形ABCD中，AB=AD，∠DAF+∠BAF=90°，
∵FA⊥AE，
∴∠BAE+∠BAF=90°，
∴∠BAE=∠DAF，
∵BE⊥DP，
∴∠ABE+∠BPE=90°，
又∵∠ADF+∠APD=90°，∠BPE=∠APD（對頂角相等），
∴∠ABE=∠ADF，
∵在△ABE和△ADF中，

∠BAE=∠DAF AB=AD ∠ABE=∠ADF

，
∴△ABE≌△ADF（ASA），故①正確；
∴AE=AF，BE=DF，
∴△AEF是等腰直角三角形，
過點A作AM⊥EF于M，則AM=MF，
∵點P是AB的中點，
∴AP=BP，
∵在△APM和△BPE中，

∠BPE=∠APD ∠BEP=∠AMP=90° AP=BP

，
∴△APM≌△BPE（AAS），
∴BE=AM，EP=MP，
∴PF=MF+PM=BE+EP，故②正確；
∵BE=DF，F(xiàn)M=AM=BE，
∴AM=DF，
又∵∠ADM+∠DAM=90°，∠ADM+∠CDF=90°，
∴∠DAM=∠CDF，
∵在△ADM和△DCF，

AD=DC ∠DAM=∠CDF AM=DF

，
∴△ADM≌△DCF（SAS），
∴CF=DM，∠ADF=∠DCF，∠CFD=∠DMA=90°，故④正確；
在Rt△CDF中，CD＞CF，
∵BC=CD，
∴CF≠BC，
∴△BCF不是等邊三角形，故③錯誤；
∵CF=DM=DF+FM=EM+FM=EF≠FP，
又∵AM=DF，
∴S_△APF＜S_△CDF，故⑤錯誤；
綜上所述，正確的有①②④．
故選B．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，同角或等角度余角相等的性質(zhì)，三角形的面積，綜合性較強，難度交點，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，作輔助線利用等腰直角三角形的性質(zhì)并構(gòu)造出全等三角形是本題的難點．