Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，4），頂點(diǎn)為（1，）．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）如圖1，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D，試在對(duì)稱軸上找出點(diǎn)P，使△CDP為等腰三角形，請(qǐng)直接寫出滿足條件的所有點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）如圖2，若點(diǎn)E是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與A、B不重合），分別連接AC、BC，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AC交線段BC于點(diǎn)F，連接CE，記△CEF的面積為S，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值及此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）；（2）滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)有：、、、；
（3）存在點(diǎn)E能使S有最大值，最大值為3，此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，0）．

解析試題分析：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用.其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的頂點(diǎn)公式和三角形的面積求法，在動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)要注意分情況討論.
(1)已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)可設(shè)拋物線的解析式為：，將點(diǎn)C（0，4）代入即可求解.
(2)求滿足使△CDP為等腰三角形的動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)，一般地，當(dāng)一等腰三角形的兩腰不明確時(shí)，應(yīng)分類討論如下：如圖①當(dāng)PC=PD時(shí)：過(guò)點(diǎn)C作CE⊥DP交于點(diǎn)E，設(shè)CP=DP=a,由勾股定理易求，所以點(diǎn)；如圖②當(dāng)DC=DP時(shí)：即以點(diǎn)D為圓心，以CD的長(zhǎng)為半徑作圓，可以發(fā)現(xiàn)在對(duì)稱軸上有兩個(gè)符合條件的點(diǎn)，因?yàn)镃D=，故DP=.所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為，；如圖③當(dāng)CD=CP時(shí)：點(diǎn)C在DP的垂直平分線上，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥DP交于點(diǎn)E，此時(shí)易得DE=PE=4，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為.
（3）先由求得拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求得直線AC的解析式為.由于EF∥AC，可由平移設(shè)出直線EF的解析式為，此時(shí)可求得點(diǎn)E的坐標(biāo)為．進(jìn)而列方程組求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，最后利用得出一個(gè)關(guān)于b的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)性質(zhì)可求出是否存在滿足條件的點(diǎn)E.

試題解析：
（1）解∵拋物線的頂點(diǎn)為
∴可設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為
∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0，4），
∴    解得
∴所求拋物線的函數(shù)關(guān)系式為．
（2）解：滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)有：、、、
（3）解：存在點(diǎn)E能使S有最大值，最大值為3，此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，0）．
如圖，令
解得x₁＝－2，x₂＝4．
∴拋物線與x軸的交點(diǎn)為A(-2,0) ，B (4,0) ．
∵A（-2,0），B（4,0），C（0,4），
∴直線AC的解析式為，
直線BC的解析式為．
∵EF∥AC，
∴可設(shè)直線EF的解析式為，（-2<x<4）
令，解得，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為．
∴BE=．
解方程組 得，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為．

整理得
∴當(dāng)時(shí)，S有最大值3，此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，0）．

考點(diǎn)：1、求二次函數(shù)解析式；2、動(dòng)點(diǎn)問題-滿足等腰三角形的點(diǎn)的坐標(biāo)；3、利用二次函數(shù)求最值的問題.