(2012•谷城縣模擬)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=
1
18
x2-
4
9
x-10與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)A,與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)B.過點(diǎn)B作x軸的平行線BC,交拋物線于點(diǎn)C,連接AC.現(xiàn)有兩動點(diǎn)P,Q分別從O,C兩點(diǎn)同時出發(fā),點(diǎn)P以每秒4個單位的速度沿OA向終點(diǎn)A移動,點(diǎn)Q以每秒1個單位的速度沿CB向點(diǎn)B移動,點(diǎn)P停止運(yùn)動時,點(diǎn)Q也同時停止運(yùn)動,線段OC,PQ相交于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DE∥OA,交CA于點(diǎn)E,射線QE交x軸于點(diǎn)F.設(shè)動點(diǎn)P,Q移動的時間為t(單位:秒)
(1)求A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)當(dāng)t為何值時,四邊形PQCA為平行四邊形?請寫出計算過程;
(3)當(dāng)t為何值時,△PQF為等腰三角形?請寫出解答過程.
分析:(1)在y=
1
18
x2-
4
9
x-10中,令y=0可求A,令x=0,可求B;由BC∥x軸,可得點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為-10.由-10=
1
18
x2-
4
9
x-10可求C,由y=
1
18
x2-
4
9
x-10=
1
18
(x-4)2-
98
9
可求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)若四邊形PQCA為平行四邊形,由于QC∥PA,故只要QC=PA即可求解.
(3)設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動了t秒,則P(4t,0),F(xiàn)(18+4t,0),Q(8-t,-10)t∈(0,4.5).從而有PQ2=(4t-8+t)2+102=(5t-8)2+100,F(xiàn)Q2=(18+4t-8+t)2+102=(5t+10)2+100.利用FP=FQ,QP=QF,PQ=PF分別進(jìn)行求解.
解答:解:(1)在拋物線y=
1
18
x2-
4
9
x-10
中,
令x=0,得y=-10.
則B(0,-10).
令y=0,得x=-10或18.
則A(18,0). 
令y=-10,得x=0或8.
則C(8,-10). 
y=
1
18
x2-
4
9
x-10
=
1
18
(x-4)2-
98
9
,
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(4,-
98
9
).

(2)由(1)知:OA=18,BC=8.
由于QC∥PA,所以當(dāng)PA=QC時,四邊形PQCA為平行四邊形,
則18-4t=t.
解得t=3.6.
故當(dāng)t=3.6秒時,四邊形PQCA為平行四邊形.

(3)∵QC∥DE∥OA,
AF
CQ
=
AE
EC
=
OD
DC
=
OP
QC

∴AF=OP,
∴PF=OA=18.
∴P(4t,0),Q(8-t,-10),F(xiàn)(18+4t,0).
∴構(gòu)造直角三角形后,由勾股定理知,
PF2=182=324,PQ2=(8-5t)2+102=25t2-80t+164,QF2=(10+5t)2+102=25t2+100t+200.
①若PQ=PF,由25t2-80t+164=324,
解得:t=
8±4
14
5

取正數(shù)t=
8+4
14
5
>4.5,舍去;
②若QP=QF,
由25t2-80t+164=25t2+100t+200,
解得:t=-
1
5
(舍去);
③若FP=FQ,
由324=25t2+100t+200,
解得:t=
±4
14
-10
5

取正數(shù)t=
4
14
-10
5
<4.5.
綜上,當(dāng)t=
4
14
-10
5
時,△PQF為等腰三角形.
點(diǎn)評:本題主要考查了直線與拋物線的綜合應(yīng)用,要求考試能夠利用基本知識進(jìn)行一定的推理,要求考試具備一定的邏輯推理的能力,有很強(qiáng)的解決問題的能力.
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1
2
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60°或120°
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x+y
x-y
-
x-y
x+y
)
(
1
x2
-
1
y2
)
,其中x=2+
3
,y=2-
3

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(2012•市南區(qū)模擬)計算題
(1)解方程組:
2x+3y=16
x+4y=13

(2)化簡:
2a
a2-4
•(
a2+4
a
-4)

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