Question

在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD，對角線AC與BD相交于點O，線段OA，OB的中點分別為E，F(xiàn)．
（1）求證：△FOE≌△DOC；
（2）求sin∠OEF的值；
（3）若直線EF與線段AD，BC分別相交于點G，H，求

AB+CD

GH

的值．

Answer 1

分析：（1）由EF是△OAB的中位線，利用中位線定理，得EF∥AB，EF=

1

2

AB，又CD∥AB，CD=

1

2

AB，可得EF=CD，由平行線的性質可證△FOE≌△DOC；
（2）由平行線的性質可知∠OEF=∠CAB，利用sin∠OEF=sin∠CAB=

BC

AC

，由勾股定理得出AC與BC的關系，再求正弦值；
（3）由（1）可知AE=OE=OC，EF∥CD，則△AEG∽△ACD，利用相似比可得EG=

1

3

CD，同理得FH=

1

3

CD，又AB=2CD，代入

AB+CD

GH

中求值．

解答：（1）證明：∵EF是△OAB的中位線，
∴EF∥AB，EF=

1

2

AB，
而CD∥AB，CD=

1

2

AB，
∴EF=CD，∠OEF=∠OCD，∠OFE=∠ODC，
∴△FOE≌△DOC；

（2）解：∵EF∥AB，
∴∠OEF=∠CAB，
∵在Rt△ABC中，AC=

AB2+BC2

=

4BC2+BC2

=

5

BC，
∴sin∠OEF=sin∠CAB=

BC

AC

=

1

5

=

5

5

；

（3）解：∵AE=OE=OC，EF∥CD，
∴△AEG∽△ACD，
∴

EG

CD

=

AE

AC

=

1

3

，即EG=

1

3

CD，
同理FH=

1

3

CD，
∴

AB+CD

GH

=

2CD+CD

CD 3 +CD+ CD 3

=

9

5

．

點評：本題綜合考查了全等三角形、相似三角形的判定與性質，勾股定理，中位線定理，銳角三角函數(shù)定義的運用．關鍵是由全等、相似得出相關線段之間的位置關系，數(shù)量關系．