Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，且AB=BC=4AD，E是AB上的一點(diǎn)，DE⊥EC．求證：CE平分∠BCD．

Answer 1

分析：通過證明Rt△AED∽R(shí)t△BCE得到：

AD

BE

=

AE

BC

，則AD•BC=BE•AE．所以根據(jù)已知條件和圖形中相關(guān)線段間的和差關(guān)系得到AD•4AD=（4AD-AE）•AE，易求點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)．
設(shè)DC的中點(diǎn)為F，連結(jié)EF，根梯形中位線定理可以得到EF∥BC且EF=FC．所以由等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到∠4=∠6，∠4=∠5．故∠5=∠6，即CE平分∠BCD．

解答：證明：∵AD∥BC，AB⊥BC，DE⊥EC，
∴∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°．
∴∠3=∠2，
∴Rt△AED∽R(shí)t△BCE．
∴

AD

BE

=

AE

BC

，
∴AD•BC=BE•AE．
又∵AB=BC=4AD，
∴AE+BE=AB=BC=4AD，
∴AD•4AD=（4AD-AE）•AE，即（AE-2AD）²=0．
∴AE=2AD=

1

2

AB，即E為AB的中點(diǎn)．
設(shè)DC的中點(diǎn)為F，連結(jié)EF，則EF∥BC且EF=FC．
∴∠4=∠6，∠4=∠5．
∴∠5=∠6，即CE平分∠BCD．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了直角梯形，相似三角形的判定與性質(zhì)．在求∠3=∠2時(shí)，也可以直接利用“同角的余角相等”得到該結(jié)論．