已知拋物線y=ax2-2ax+c-1的頂點(diǎn)在直線y=-
8
3
x+8
上,與x軸相交于B(α,0)、C(β,0)兩點(diǎn),其中α<β,且α22=10.
(1)求這個拋物線的解析式;
(2)設(shè)這個拋物線與y軸的交點(diǎn)為P,H是線段BC上的一個動點(diǎn),過H作HKPB,交PC于K,連接PH,記線段BH的長為t,△PHK的面積為S,試將S表示成t的函數(shù);
(3)求S的最大值,以及S取最大值時過H、K兩點(diǎn)的直線的解析式.
(1)由y=ax2-2ax+c-1=a(x-1)2+c-1-a得拋物線的頂點(diǎn)為
A(1,c-1-a).
∵點(diǎn)A在直線y=-
8
3
x+8上,
∴c-1-a=-
8
3
×1+8,
即c=a+
19
3
,①
又拋物線與x軸相交于B(α,0)、C(β,0)兩點(diǎn),
∴α、β是方程ax2-2ax+c-1=0的兩個根.
∴α+β=2,αβ=
c-1
a
,
又α22=10,即(α+β)2-2αβ=10,
∴4-2×
c-1
a
=10,
即c=1-3a②,
由①②解得:a=-
4
3
,c=5,
∴y=-
4
3
x2+
8
3
x+4,
此時,拋物線與x軸確有兩個交點(diǎn),
答:這個拋物線解析式為:y=-
4
3
x2+
8
3
x+4.

(2)由拋物線y=-
4
3
x2+
8
3
x+4,
令x=0,得y=4,故P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,4),
令y=0,解得x1=-1,x2=3,
∵α<β,∴B(-1,0),C(3,0),
∴BC=4,又由OC=3,OP=4,得PC=5,sin∠BCP=
OP
PC
=
4
5
,
∵BH=t,∴HC=4-t.
∵HKBP,
BH
HC
=
PK
KC
,
t
4-t
=
PK
5-PK
,
∴PK=
5
4
t
如圖,過H作HG⊥PC于G,則HG=HC,
sin∠BCP=(4-t)•
4
5
=
4
5
(4-t),
∴S=
1
2
×
5
4
4
5
(4-t)=
1
2
t2+2t,
∵點(diǎn)H在線段BC上且HKBP,∴0<t<4.
∴所求的函數(shù)式為:S=-
1
2
t2+2t(0<t<4),
答:將S表示成t的函數(shù)為S=-
1
2
t2+2t(0<t<4).

(3)由S=-
1
2
t2+2t=-
1
2
(t-2)2+2(0<t<4),知:
當(dāng)t=2(滿足0<t<4)時,S取最大值,其值為2,
此時,點(diǎn)H的坐標(biāo)為(1,0),
∵HKPB,且H為BC的中點(diǎn),
∴K為PC的中點(diǎn),
作KK′⊥HC于K′,
則KK′=
1
2
PO=2,OK′=
1
2
CO=
3
2

∴點(diǎn)K的坐標(biāo)為(
3
2
,2),
設(shè)所求直線的解析式為y=kx+b,則
0=k+b
2=
3
2
+b
,
k=4
b=-4

故所求的解析式為y=4x-4,
答S的最大值是2,S取最大值時過H、K兩點(diǎn)的直線的解析式是y=4x-4.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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已知:如圖,把矩形OCBA放置于直角坐標(biāo)系中,OC=3,BC=2,取AB的中點(diǎn)M,連結(jié)MC,把△MBC沿x軸的負(fù)方向平移OC的長度后得到△DAO.
(1)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)已知點(diǎn)B與點(diǎn)D在經(jīng)過原點(diǎn)的拋物線上,點(diǎn)P在第一象限內(nèi)的該拋物線上移動,過點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q,連結(jié)OP.若以O(shè)、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△DAO相似,試求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

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(1)求點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo);
(個)求此二次函數(shù)的解析式;
(3)如果點(diǎn)d在x軸上,且△ABd是等腰三角形,求點(diǎn)d的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),A點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,0),B點(diǎn)坐標(biāo)為(12,0),以AB為直徑作⊙P與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C.拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A、B、C三點(diǎn),其頂點(diǎn)為M點(diǎn).
(1)求此拋物線的解析式;
(2)設(shè)點(diǎn)D是拋物線與⊙P的第四個交點(diǎn)(除A、B、C三點(diǎn)以外),求直線MD的解析式;
(3)判定(2)中的直線MD與⊙P的位置關(guān)系,并說明理由.

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如圖:已知拋物線y1=-x2-2x+8的圖象交x軸于點(diǎn)A,B兩點(diǎn),與y軸的正半軸交于點(diǎn)C.拋物線y2經(jīng)過B、C兩點(diǎn)且對稱軸為直線x=3.
(1)確定A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)求拋物線y2的解析式;
(3)若過點(diǎn)(0,3)且平行于x軸的直線與拋物線y2交于M、N兩點(diǎn),以MN為一邊,拋物線y2上任意一點(diǎn)P(x,y)為頂點(diǎn)作平行四邊形,若平行四邊形的面積為S,寫出S關(guān)于P點(diǎn)縱坐標(biāo)y的函數(shù)解析式.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

如圖,直線y=x+2與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,AB⊥BC,且點(diǎn)C在x軸上,若拋物線y=ax2+bx+c以C為頂點(diǎn),且經(jīng)過點(diǎn)B,則這條拋物線的關(guān)系式為______.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

如圖,拋物線y=x2-2x與直線y=3相交于點(diǎn)A、B,P是x軸上一點(diǎn),若PA+PB最小,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為( 。
A.(-l,0)B.(0,0)C.(1,0)D.(3,0)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

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(1)求矩形ABCD的面積;
(2)如圖2,若將拋物線“y=x2”,改為拋物線“y=x2+bx+c”,其他條件不變,請猜想矩形ABCD的面積;
(3)若將拋物線“y=x2+bx+c”改為拋物線“y=ax2+bx+c”,其他條件不變,請猜想矩形ABCD的面積.(用a、b、c表示,并直接寫出答案)
附加題:若將題中“y=x2”改為“y=ax2+bx+c”,“AB=2AD”條件不要,其他條件不變,探索矩形ABCD面積為常數(shù)時,矩形ABCD需要滿足什么條件并說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

如圖,用一段長為30米的籬笆圍成一個一邊靠墻(墻的長度不限)的矩形菜園ABCD,設(shè)AB邊長為x米,則菜園的面積y(米2)與x(米)的關(guān)系式為______.(不要求寫出自變量x的取值范圍)

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