Question

（2012•通遼）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將一個(gè)正方形ABCD放在第一象限斜靠在兩坐標(biāo)軸上，且點(diǎn)A（0，2）、點(diǎn)B（1，0），拋物線y=ax²-ax-2經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求拋物線的解析式；
（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)P與點(diǎn)Q（點(diǎn)C、D除外）使四邊形ABPQ為正方形？若存在求出點(diǎn)P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）作CE⊥x軸于點(diǎn)E，根據(jù)四邊形ABCD為正方形，得到Rt△AOB≌Rt△CEA，因此OA=BE=2，OB=CE=1，據(jù)此可求出C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）然后將C點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線中即可求出二次函數(shù)的解析式．
（3）可以AB為邊在拋物線的左側(cè)作正方形AQPB，過(guò)P作PE⊥y軸，過(guò)Q作QG垂直x軸于G，不難得出△PEA≌△BQG≌△BAO，據(jù)此可求出P，Q的坐標(biāo)，然后將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可判斷出P、Q是否在拋物線上．

解答：解：（1）作CE⊥x軸于點(diǎn)E，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠ABO+∠CBE=90°，
∵∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠OAB=∠EBC
∴Rt△AOB≌Rt△CEB，
∵A（0，2）、點(diǎn)B（1，0），
∴AO=2，BO=1
得OE=2+1=3，CE=1
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1）；

（2）∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，
∴1=a×3²-a×3-2，
∴a=

1

2

，
∴拋物線的解析式為y=

1

2

x²-

1

2

x-2；

（3）在拋物線上存在點(diǎn)P、Q，使四邊形ABQP是正方形．
以AB為邊在AB的左側(cè)作正方形ABPQ，過(guò)P作PE⊥OA于E，QG⊥x軸于G，可證△PEA≌△BQG≌△BAO，

∴PE=BG=AO=2，AE=QG=BO=1，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，1），Q點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-1）．
由（1）拋物線y=

1

2

x²-

1

2

x-2，
當(dāng)x=-2時(shí)，y=1；當(dāng)x=-1時(shí)，y=-1．
∴P、Q在拋物線上．
故在拋物線上存在點(diǎn)P（-2，1）、Q（-1，-1），使四邊形ABQP是正方形．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、正方形的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．綜合性強(qiáng)，涉及的知識(shí)點(diǎn)多，難度較大．