Question

如圖，直角梯形ABCD置于平面直角坐標系中，BC與x軸重合，點A在y軸上，且AD∥BC，AD=CD，若sin∠ABO=

3

5

，梯形ABCD的面積為60．
（1）求直線AB的解析式；
（2）若點P從點A出發(fā)，沿AB向終點B運動，運動速度為每秒3個單位長度，過點P作AB的垂線交x軸于點E交y軸于點F，設點P的運動時間為t秒，線段EF長為y，求y與t的函數(shù)關(guān)系式（直接寫出自變量t的取值范圍）；
（3）在（2）的條件下，連接DE、DF，當cos∠EDF=

2

2

時，求t的值．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）易證四邊形ADCO為正方形，然后由正弦三角函數(shù)的定義、勾股定理求得線段OB與OA的數(shù)量關(guān)系，最后由梯形的面積公式求得OA、OB的長度．由待定系數(shù)法求得直線AB的解析式；
（2）由（1）中OA、OB的長度，利用勾股定理求得AB=10；然后利用三角函數(shù)的定義求得AF=5t、PF=4t；最后根據(jù)對頂角相等、余弦三角函數(shù)的定義求得y與t的函數(shù)關(guān)系式．定義域由y所表示的實際意義來確定；
（3）易證得∠EDF=45°．又因為∠ADF+∠CDE=45°，所以AF+CE=EF．

解答：解：（1）∵梯形ABCD是直角梯形，且AD∥BC，∠D=90°，AD=CD，
∴四邊形ADCO為正方形，
∴AD=OA=OC．
又∵sin∠ABO=

3

5

，
∴

OA

AB

=

3

5

，
∴

OA

OB

=

3

4

，
∴OA=

3

4

OB，
∴S_梯形ABCD=

1

2

（AD+OB+OC）•OA=

1

2

×

5

2

OB×

3

4

OB=60，
∴OB=8，
∴OA=6，
∴A（0，6），B（-8，0）．
設直線AB的解析式為：y=kx+b（k≠0），則

6=b 0=-8k+b

，
解得

k= 3 4 b=6

，
故直線AB的解析式為：y=

3

4

x+6；

（2）∵OA=6，OB=8，
∴AB=

OA2+OB2

=10．
∵PE⊥AB，
∴cos∠PAF=

AP

AF

=

OA

AB

，即

3t

AF

=

6

10

，
解得，AF=5t．
∴根據(jù)勾股定理求得PF=4t．
∴cos∠OFE=cos∠PFA，即

OF

EF

=

PF

AF

，
∴

6-5t

y

=

4t

5t

，
∴y=-

25

4

t+

15

2

（0≤t＜

6

5

）；

（3）∵

OE

OF

=

AP

PF

，
∴

OE

6-5t

=

3t

4t

，即OE=

3

4

（6-5t），
∴CE=OC-OE=6-

3

4

（6-5t）=

3

2

+

15

4

t．
∵cos∠EDF=

2

2

，cos∠EDF是銳角，
∴cos∠EDF=45°．
∵∠ADF+∠CDE=45°，
∴點A關(guān)于直線DE的對稱點與點C關(guān)于直線DE的對稱點重合，即圖中的點G，
∴AF+CE=FG+CG=EF，即AF+CE=EF．
∴5t+

3

2

+

15

4

t=-

25

4

t+

15

2

，
解得t=

2

5

．

點評：本題考查了一次函數(shù)綜合題．其中涉及到的知識點有勾股定理、解直角三角形、待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、梯形的面積公式等．