Question

如圖，在銳角三角形ABC中，BC=12，△ABC的面積為48，D，E分別是邊AB，AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（D不與A，B重合），且保持DE∥BC，以DE為邊，在點(diǎn)A的異側(cè)作正方形DEFG．
（1）當(dāng)正方形DEFG的邊GF在BC上時(shí)，求正方形DEFG的邊長(zhǎng)；
（2）設(shè)DE=x，△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積為y，試求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，寫(xiě)出x的取值范圍，并求出y的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，作出圖示；分析可得：AM=8，且△ADE∽△ABC，進(jìn)而可得

DE

12

=

8-DE

8

，解可得答案．
（2）分兩種情況：①當(dāng)正方形DEFG在△ABC的內(nèi)部時(shí)，②當(dāng)正方形DEFG的一部分在△ABC的外部時(shí)，依據(jù)平行線以及正方形的性質(zhì)，可得二次函數(shù)，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，解可得重合部分的面積，比較可得面積的最大值．

解答：解：
（1）當(dāng)正方形DEFG的邊GF在BC上時(shí)，如圖（1），過(guò)點(diǎn)A作BC邊上的高AM，交DE于N，垂足為M．
∵S_△ABC=48，BC=12，∴AM=8，
∵DE∥BC，△ADE∽△ABC，
∴

DE

BC

=

AN

AM

，
而AN=AM-MN=AM-DE，∴

DE

12

=

8-DE

8

，
解之得DE=4.8．∴當(dāng)正方形DEFG的邊GF在BC上時(shí)，正方形DEFG的邊長(zhǎng)為4.8，

（2）分兩種情況：
①當(dāng)正方形DEFG在△ABC的內(nèi)部時(shí)，
如圖（2），△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積為正方形DEFG的面積，
∵DE=x，∴y=x²，
此時(shí)x的范圍是0＜x≤4.8，
②當(dāng)正方形DEFG的一部分在△ABC的外部時(shí)，
如圖（3），設(shè)DG與BC交于點(diǎn)Q，EF與BC交于點(diǎn)P，
△ABC的高AM交DE于N，
∵DE=x，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，
即

DE

BC

=

AN

AM

，而AN=AM-MN=AM-EP，
∴

x

12

=

8-EP

8

，解得EP=8-

2

3

x．
所以y=x（8-

2

3

x），即y=-

2

3

x²+8x，
由題意，x＞4.8，且x＜12，所以4.8＜x＜12；
因此△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積需分兩種情況討論，
當(dāng)0＜x≤4.8時(shí)，△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積的最大值為4.8²=23.04，
當(dāng)4.8＜x＜12時(shí)，因?yàn)?span id="2aeamac" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">y=-

2

3

x2+8x，
所以當(dāng)x=-

8

2×(- 2 3 )

=6時(shí)，
△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積的最大值為二次函數(shù)的最大值：y_最大=-

2

3

×6²+8×6=24；
因?yàn)?4＞23.04，
所以△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積的最大值為24．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)，平行線以及正方形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，要根據(jù)題意，得到二次函數(shù)關(guān)系，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得答案．