Question

如圖，在銳角三角形ABC中，BC=4

2

，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分別是BD、BC上的動(dòng)點(diǎn)，試求CM+MN的最小值．

Answer 1

分析：過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)M′，過點(diǎn)M′作M′N′⊥BC于N′，則CE即為CM+MN的最小值，再根據(jù)BC=4

2

，∠ABC=45°，BD平分∠ABC可知△BCE是等腰直角三角形，由銳角三角函數(shù)的定義即可求出CE的長．

解答：解：過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)M′，過點(diǎn)M′作M′N′⊥BC于N′，則CE即為CM+MN的最小值，
∵BC=4

2

，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴CE=BC•cos45°=4

2

×

2

2

=4．
故CM+MN的最小值為4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是軸對(duì)稱-最短路線問題，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出等腰直角三角形，利用銳角三角函數(shù)的定義求解是解答此題的關(guān)鍵．