Question

在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的位置如圖所示，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2）．延長(zhǎng)CB交x軸于點(diǎn)A₁，作正方形A₁B₁C₁C；延長(zhǎng)C₁B₁交x軸于點(diǎn)A₂，作正方形A₂B₂C₂C₁…按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，正方形A₂₀₁₁B₂₀₁₁C₂₀₁₁C₂₀₁₀的面積為（　　）

• A、5×(

  3

  2

  )2010
• B、5×(

  3

  2

  )4020
• C、5×(

  9

  4

  )2009
• D、5×(

  9

  4

  )2011

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：先利用ASA證明△AOD和△A₁BA相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可以得到AB=2A₁B，所以正方形A₁B₁C₁C的邊長(zhǎng)等于正方形ABCD邊長(zhǎng)的

3

2

以此類推，后一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是前一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)的

3

2

然后即可求出第2011個(gè)正方形的邊長(zhǎng)與第1個(gè)正方形的邊長(zhǎng)的關(guān)系，從而求出第2011個(gè)正方形的面積．

解答：解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC，
∴∠ABA₁=90°，∠DAO+∠BAA₁=180°-90°=90°，
又∵∠AOD=90°，
∴∠ADO+∠DAO=90°，
∴∠ADO=∠BAA₁，
在△AOD和A₁BA中，
∵

∠AOD=∠ABA1=90° ∠ADO=∠BAA1

，
∴△AOD∽△A₁BA，
∴

OD

AO

=

AB

A1B

=2，
∴BC=2A₁B，
∴A₁C=

3

2

BC，
以此類推A₂C₁=

3

2

A₁C，A₃C₂=

3

2

A₂C₁即后一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是前一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)的

3

2

倍，
∴第2011個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為（

3

2

）²⁰¹¹BC，
∵A的坐標(biāo)為（1，0），D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），
∴BC=AD=

12+22

=

5

，
∴正方形A₂₀₁₁B₂₀₁₁C₂₀₁₁C₂₀₁₀的面積為[（

3

2

）²⁰¹¹BC]²=5×（

3

2

）⁴⁰²²=5×（

9

4

）²⁰¹¹．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是一次函數(shù)綜合題，涉及到正方形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，屬規(guī)律性題目．