Question

如圖，AB為⊙O的直徑，非直徑的弦CD與AB相交于點E，DE=EC，過點B的⊙O的切線與AD的延長線相交于點F，過點E作EG⊥BC，垂足為點G，延長CE與AD相交于點H．

（1）請你探究DC與BF的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）求證：EH為△ADE的中線；
（3）若EH=EC，DF=9，求⊙O的半徑．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）先求出∠AED=∠ABF，利用平行線的判定即可得出結(jié)論，
（2）利用在直角三角形中斜邊的中線等于斜邊的一半求解即可．
（3）過點D作BF的垂線，垂足為K，先由（2）得出△DHE為等邊三角形，再利用含30°的直角三角形求出BD，AB，即可求出⊙O的半徑．

解答：解：（1）DC∥BF
∵在⊙O中，AB是直徑，CD是弦，DE=CE，
∴AB⊥CD，
∵BF切⊙O于點B，
∴AB⊥BF，
∴∠AED=∠ABF=90°，
∴DC∥BF，
（2）∵HG⊥BC，
∴∠EGC=90°=∠BEC，
∴∠C+∠CEG=90°，∠CEG+∠BEG=90°，
∴∠BEG=∠C，
∵∠BEG+∠CEG=90°
∴∠BEG=∠C，
∵∠BEG=∠HEA，∠A=∠C，
∴∠A=∠HEA，
同理可證∠ADE=90°-∠A，∠HED=90°-∠HEA，
∴∠HDE=∠HED，
∴AH=HE=HD，即EH是△ADE的中線，
（3）如圖，過點D作BF的垂線，垂足為K，

由（2）可知，DH=HE=EC=DE，
∴△DHE為等邊三角形，
∴∠ADE=60°=∠F，
∴∠FDK=30°，
∴FK=

1

2

DF=

9

2

，
在RT△DKF中，DK=

DF2-FK2

=

92-( 9 2 )2

=

9 3

2

，
∵∠DEB=∠EBK=∠BKD=90°，
∴四邊形DEBK為矩形，
∴DK=BE=

9 3

2

，
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠A=∠BDE=90°-60°=30°，
在RT△DBE中，BD=2BE=9

3

，
在RT△ABD中，AB=2BD=18

3

，
∴OA=9

3

．
∴⊙O的半徑為9

3

．

點評：本題主要考查了圓的綜合題，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，靈活運用含30°的直角三角形的邊角關(guān)系．