Question

已知拋物線y₁=ax²+bx+c（a≠0）的對稱軸是直線l，頂點為點M．若自變量x和函數值y₁的部分對應值如下表所示：
（Ⅰ）求y₁與x之間的函數關系式；
（Ⅱ）若經過點T（0，t）作垂直于y軸的直線l′，A為直線l′上的動點，線段AM的垂直平分線交直線l于點B，點B關于直線AM的對稱點為P，記P（x，y₂）．
（1）求y₂與x之間的函數關系式；
（2）當x取任意實數時，若對于同一個x，有y₁＜y₂恒成立，求t的取值范圍．

x	…	-1		3	…
y1=ax2+bx+c	…				…

Answer 1

【答案】分析：（I）先根據物線經過點（0，）得出c的值，再把點（-1，0）、（3，0）代入拋物線y₁的解析式即可得出y₁與x之間的函數關系式；
（II）先根據（I）中y₁與x之間的函數關系式得出頂點M的坐標．
①記直線l與直線l′交于點C（1，t），當點A′與點C不重合時，由已知得，AM與BP互相垂直平分，故可得出四邊形ANMP為菱形，所以PA∥l，再由點P（x，y₂）可知點A（x，t）（x≠1），所以PM=PA=|y₂-t|，過點P作PQ⊥l于點Q，則點Q（1，y₂），故QM=|y₂-3|，PQ=AC=|x-1|，在Rt△PQM中，根據勾股定理即可得出y₂與x之間的函數關系式，再由當點A與點C重合時，點B與點P重合可得出P點坐標，故可得出y₂與x之間的函數關系式；
②據題意，借助函數圖象：當拋物線y₂開口方向向上時，可知6-2t＞0，即t＜3時，拋物線y₁的頂點M（1，3），拋物線y₂的頂點（1，），由于3＞，所以不合題意，當拋物線y₂開口方向向下時，6-2t＜0，即t＞3時，求出y₁-y₂的值；若3t-11≠0，要使y₁＜y₂恒成立，只要拋物線方向及且頂點（1，）在x軸下方，因為3-t＜0，只要3t-11＞0，解得t＞，符合題意；若3t-11=0，y₁-y₂=-＜0，即t=也符合題意．
解答：解：（Ⅰ）∵拋物線經過點（0，），
∴c=．
∴y₁=ax²+bx+，
∵點（-1，0）、（3，0）在拋物線y₁=ax²+bx+上，
∴，解得，
∴y₁與x之間的函數關系式為：y₁=-x²+x+；

（II）∵y₁=-x²+x+，
∴y₁=-（x-1）²+3，
∴直線l為x=1，頂點M（1，3）．
①由題意得，t≠3，
如圖，記直線l與直線l′交于點C（1，t），當點A′與點C不重合時，
∵由已知得，AM與BP互相垂直平分，
∴四邊形ANMP為菱形，
∴PA∥l，
又∵點P（x，y₂），
∴點A（x，t）（x≠1），
∴PM=PA=|y₂-t|，
過點P作PQ⊥l于點Q，則點Q（1，y₂），
∴QM=|y₂-3|，PQ=AC=|x-1|，
在Rt△PQM中，
∵PM²=QM²+PQ²，即（y₂-t）²=（y₂-3）²+（x-1）²，整理得，y₂=（x-1）²+，
即y₂=x²-x+，
∵當點A與點C重合時，點B與點P重合，
∴P（1，），
∴P點坐標也滿足上式，
∴y₂與x之間的函數關系式為y₂=x²-x+（t≠3）；

②根據題意，借助函數圖象：
當拋物線y2開口方向向上時，6-2t＞0，即t＜3時，拋物線y₁的頂點M（1，3），拋物線y₂的頂點（1，），
∵3＞，
∴不合題意，
當拋物線y₂開口方向向下時，6-2t＜0，即t＞3時，
y₁-y₂=-（x-1）²+3-[（x-1）²+]
=（x-1）²+，
若3t-11≠0，要使y₁＜y₂恒成立，
只要拋物線y=（x-1）2+開口方向向下，且頂點（1，）在x軸下方，
∵3-t＜0，只要3t-11＞0，解得t＞，符合題意；
若3t-11=0，y₁-y₂=-＜0，即t=也符合題意．
綜上，可以使y₁＜y₂恒成立的t的取值范圍是t≥．
點評：本題考查的是二次函數綜合題，涉及到待定系數法二次函數解的解析式、勾股定理及二次函數的性質，解答此類題目時要注意數形結合思想的運用．