Question

已知a、c為實(shí)數(shù)，直線y₁=（a+1）x-1，拋物線y₂=x²+ax+c．
（Ⅰ）在直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A，與y軸的正半軸交于點(diǎn)B，若c=2，tan∠ABO=

1

2

，求拋物線的解析式；
（Ⅱ）若c＞0，證明在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，對(duì)于x的同一個(gè)值，直線與拋物線對(duì)應(yīng)的y₁＜y₂均成立；
（Ⅲ）若a=-1，當(dāng)-1＜x＜4時(shí)，拋物線與x軸有公共點(diǎn)，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)tan∠ABO=

AO

BO

=

1

2

的值代入可得拋物線的解析式；
（Ⅱ）根據(jù)y₂-y₁=x²+ax+c-[（a+1）x-1]，直接化簡(jiǎn)配方即可得出答案；
（Ⅲ）把a(bǔ)代入解析式可得△=1-4c≥0，等于0時(shí)可直接求得c的值；求出y的相應(yīng)的值后可得c的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵拋物線與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A，與y軸的正半軸交于點(diǎn)B，若c=2，tan∠ABO=

1

2

，
∴tan∠ABO=

AO

BO

=

1

2

，
∴A（-1，0），
代入解析式y(tǒng)₂=x²+ax+c，
∴0=1-a+2，
∴a=3，
∴y₂=x²+3x+2；
（Ⅱ）∵c＞0，
∴y₂-y₁=x²+ax+c-[（a+1）x-1]，
=（x-

1

2

）²+

3

4

+c，
y₂-y₁＞0，
∴在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，對(duì)于x的同一個(gè)值，直線與拋物線對(duì)應(yīng)的y₁＜y₂均成立；

（Ⅲ）當(dāng)a=-1時(shí)，拋物線為y₂=x²-x+c，且與x軸有公共點(diǎn)．
對(duì)于方程x²-x+c=0，判別式△=1-4c≥0，有c≤

1

4

．（3分）
①當(dāng) c=

1

4

時(shí)，由方程x²-x+

1

4

=0，解得x₁=x₂=

1

2

．
此時(shí)拋物線與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)（

1

2

，0）；（4分）
②當(dāng) c＜

1

4

時(shí)，x₁=-1時(shí)，y₁=2+c；
x₂=4時(shí)，y₂=12+c．
由已知-1＜x＜4時(shí)，該拋物線與x軸有公共點(diǎn)，考慮其對(duì)稱軸為 x=

1

2

，
應(yīng)有 即

2+c＜0 12+c＞0

解得-12＜c≤-2．
綜上，c=

1

4

或-12＜c≤-2．（6分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及圖象與坐標(biāo)軸有交點(diǎn)的條件，根據(jù)不等式的性質(zhì)以及判別式得出c的取值范圍是解決問題的關(guān)鍵．