如圖1,B(2m,0),C(3m,0)是平面直角坐標系中兩點,其中m為常數(shù),且m>0,E(0,n)為y軸上一動點,以BC為邊在x軸上方作矩形ABCD,使AB=2BC,畫射線OA,把△ADC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得△A′D′C′,連接ED′,拋物線y=ax2+bx+n(a≠0)過E,A′兩點.
(1)填空:∠AOB= 45 °,用m表示點A′的坐標:A′( m , ﹣m );
(2)當拋物線的頂點為A′,拋物線與線段AB交于點P,且=時,△D′OE與△ABC是否相似?說明理由;
(3)若E與原點O重合,拋物線與射線OA的另一個交點為點M,過M作MN⊥y軸,垂足為N:
①求a,b,m滿足的關(guān)系式;
②當m為定值,拋物線與四邊形ABCD有公共點,線段MN的最大值為10,請你探究a的取值范圍.
解:(1)∵B(2m,0),C(3m,0),
∴OB=2m,OC=3m,即BC=m,
∵AB=2BC,
∴AB=2m=0B,
∵∠ABO=90°,
∴△ABO為等腰直角三角形,
∴∠AOB=45°,
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得:OD′=D′A′=m,即A′(m,﹣m);
故答案為:45;m,﹣m;
(2)△D′OE∽△ABC,理由如下:
由已知得:A(2m,2m),B(2m,0),
∵=,
∴P(2m,m),
∵A′為拋物線的頂點,
∴設(shè)拋物線解析式為y=a(x﹣m)2﹣m,
∵拋物線過點E(0,n),
∴n=a(0﹣m)2﹣m,即m=2n,
∴OE:OD′=BC:AB=1:2,
∵∠EOD′=∠ABC=90°,
∴△D′OE∽△ABC;
(3)①當點E與點O重合時,E(0,0),
∵拋物線y=ax2+bx+c過點E,A,
∴,
整理得:am+b=﹣1,即b=﹣1﹣am;
②∵拋物線與四邊形ABCD有公共點,
∴拋物線過點C時的開口最大,過點A時的開口最小,
若拋物線過點C(3m,0),此時MN的最大值為10,
∴a(3m)2﹣(1+am)•3m=0,
整理得:am=,即拋物線解析式為y=x2﹣x,
由A(2m,2m),可得直線OA解析式為y=x,
聯(lián)立拋物線與直線OA解析式得:,
解得:x=5m,y=5m,即M(5m,5m),
令5m=10,即m=2,
當m=2時,a=;
若拋物線過點A(2m,2m),則a(2m)2﹣(1+am)•2m=2m,
解得:am=2,
∵m=2,
∴a=1,
則拋物線與四邊形ABCD有公共點時a的范圍為≤a≤1
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
下列說法正確的是( 。
| A. | “購買1張彩票就中獎”是不可能事件 |
| B. | “擲一次骰子,向上一面的點數(shù)是6”是隨機事件 |
| C. | 了解我國青年人喜歡的電視節(jié)目應(yīng)作全面調(diào)查 |
| D. | 甲、乙兩組數(shù)據(jù),若S甲2>S乙2,則乙組數(shù)據(jù)波動大 |
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
如圖,AB∥CD,F(xiàn)E⊥DB,垂足為E,∠1=50°,則∠2的度數(shù)是( 。
| A. | 60° | B. | 50° | C. | 40° | D. | 30° |
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
901班的全體同學根據(jù)自己的興趣愛好參加了六個學生社團(每個學生必須參加且只參加一個),為了了解學生參加社團的情況,學生會對該班參加各個社團的人數(shù)進行了統(tǒng)計,繪制成了如圖不完整的扇形統(tǒng)計圖,已知參加“讀書社”的學生有15人,請解答下列問題:
(1)該班的學生共有 60 名;
(2)若該班參加“吉他社”與“街舞社”的人數(shù)相同,請你計算,“吉他社”對應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù);
(3)901班學生甲、乙、丙是“愛心社”的優(yōu)秀社員,現(xiàn)要從這三名學生中隨機選兩名學生參加“社區(qū)義工”活動,請你用畫樹狀圖或列表的方法求出恰好選中甲和乙的概率.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
一張桌子上擺放有若干個大小、形狀完全相同的碟子,現(xiàn)從三個方向看,其三種視圖如圖所示,則這張桌子上碟子的總數(shù)為( 。
| A. | 11 | B. | 12 | C. | 13 | D. | 14 |
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
如圖,把一塊含有45°的直角三角形的兩個頂點放在直尺的對邊上.如果∠1=20°,那么∠2的度數(shù)是( 。
| A. | 15° | B. | 20° | C. | 25° | D. | 30° |
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