Question

【題目】6月1日是兒童節(jié)，為了迎接兒童節(jié)的到來，蘭州某商場(chǎng)計(jì)劃購(gòu)進(jìn)一批甲、乙兩種玩具，已知一件甲種玩具的進(jìn)價(jià)與一件乙種玩具的進(jìn)價(jià)的和為40元，用90元購(gòu)進(jìn)甲種玩具的件數(shù)與用150元購(gòu)進(jìn)乙種玩具的件數(shù)相同．

（1）求每件甲種、乙種玩具的進(jìn)價(jià)分別是多少元？

（2）商場(chǎng)計(jì)劃購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種玩具共48件，其中甲種玩具的件數(shù)少于24件，并且商場(chǎng)決定此次進(jìn)貨的總資金不超過1000元，求商場(chǎng)共有幾種進(jìn)貨方案？

（3）在（2）條件下，若每件甲種玩具售價(jià)30元，每件乙種玩具售價(jià)45元，請(qǐng)求出賣完這批玩具獲利W（元）與甲種玩具進(jìn)貨量m（件）之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出最大利潤(rùn)為多少？

Answer 1

【答案】（1）甲、乙兩種玩具分別是15元/件，25元/件；（2）故商場(chǎng)共有四種進(jìn)貨方案：方案一：購(gòu)進(jìn)甲種玩具20件，乙種玩具28件；方案二：購(gòu)進(jìn)甲種玩具21件，乙種玩具27件；方案三：購(gòu)進(jìn)甲種玩具22件，乙種玩具26件；方案四：購(gòu)進(jìn)甲種玩具23件，乙種玩具25件；（3）W＝﹣5m+960，最大利潤(rùn)860元.

【解析】

(1)設(shè)甲種玩具進(jìn)價(jià)為x元/件，則乙種玩具進(jìn)價(jià)為(40﹣x)元/件，根據(jù)用90元購(gòu)進(jìn)甲種玩具的件數(shù)與用150元購(gòu)進(jìn)乙種玩具的件數(shù)相同可列方程求解；

(2)設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種玩具m件，則購(gòu)進(jìn)乙種玩具(48﹣m)件，根據(jù)甲種玩具的件數(shù)少于24件，并且商場(chǎng)決定此次進(jìn)貨的總資金不超過1000元，可列出不等式組求解；

(3)先列出有關(guān)總利潤(rùn)和進(jìn)貨量的一次函數(shù)關(guān)系式，然后利用一次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合自變量的取值范圍求最大值即可．

(1)設(shè)甲種玩具進(jìn)價(jià)x元/件，則乙種玩具進(jìn)價(jià)為(40﹣x)元/件，

根據(jù)題意，得，

解得x＝15，

經(jīng)檢驗(yàn)x＝15是原方程的解，

則40﹣x＝25，

答：甲、乙兩種玩具分別是15元/件，25元/件；

(2)設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種玩具m件，則購(gòu)進(jìn)乙種玩具(48﹣m)件，

由題意，得，

解得20≤m＜24，

∵m是整數(shù)，

∴m取20，21，22，23，

故商場(chǎng)共有四種進(jìn)貨方案：

方案一：購(gòu)進(jìn)甲種玩具20件，乙種玩具28件；

方案二：購(gòu)進(jìn)甲種玩具21件，乙種玩具27件；

方案三：購(gòu)進(jìn)甲種玩具22件，乙種玩具26件；

方案四：購(gòu)進(jìn)甲種玩具23件，乙種玩具25件；

(3)設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種玩具m件，賣完這批玩具獲利W元，則購(gòu)進(jìn)乙種玩具(48﹣m)件，

根據(jù)題意得：W＝(30﹣15)m+(45﹣25)(48﹣m)＝﹣5m+960，

∵比例系數(shù)k＝﹣5＜0，

∴W隨著m的增大而減小，

∴當(dāng)m＝20時(shí)，有最大利潤(rùn)W＝﹣5×20+960＝860元．