Question

已知，將邊長(zhǎng)為5的正方形ABCO放置在如圖所示的直角坐標(biāo)系中，使點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上．點(diǎn)M（t，0）在x軸上運(yùn)動(dòng)，過(guò)A作直線MC的垂線交y軸于點(diǎn)N．
（1）當(dāng)t=1時(shí)，求直線MC的解析式；
（2）設(shè)△AMN的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式并寫出相應(yīng)t的取值范圍；
（3）在該平面直角坐標(biāo)系中取點(diǎn)P（2，y），是否存在以M、N、C、P為頂點(diǎn)的四邊形是直角梯形？若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）∵正方形ABCO的邊長(zhǎng)為5，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（0，5），
∵t=1，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（1，0），
設(shè)直線MC的解析式為：y=kx+b，
∴，
解得：．
∴直線MC的解析式為：y=-5x+5；

（2）∵四邊形OABC是正方形，
∴OA=OC，∠AON=∠COM=90°，
∵AN⊥MC，
∴∠NAO+∠CMO=90°，
∵∠NAO+∠ANO=90°，
∴∠ANO=∠CMO，
在△AON和△COM中，
∵，
∴△AON≌△CMO（AAS），
∴ON=OM=|t|，
∴①當(dāng)t＞0時(shí)，AM=OA+OM=5+t，ON=t，
∴S=t（t+5）=t²+t（t＞0），
②當(dāng)-5＜t＜0時(shí)，AM=5+t，ON=-t，
∴S=-t²-t（-5＜t＜0），
③當(dāng)t＜-5時(shí)，AM=5-t，ON=-t，
∴S=t²+t （t＜-5）；

（3）如圖①，當(dāng)CN∥PM時(shí)，
∵∠CNM≠90°，
∴∠PCN=90°，
∴P₁（2，5）；
如圖②，當(dāng)MN∥CP時(shí)，
∵ON=OM，
∴直線MN的比例系數(shù)為-1，
∴設(shè)直線PC的解析式為：y=-x+b，
∵點(diǎn)C（0，5），
∴直線PC的解析式為：y=-x+5，
當(dāng)x=2時(shí)，y=3，
∴P₂（2，3）．
故P₁（2，5），P₂（2，3）．
分析：（1）由題意易得點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（0，5），點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（1，0），然后設(shè)直線MC的解析式為：y=kx+b，利用待定系數(shù)法即可求得直線MC的解析式；
（2）由題意易證得△AON≌△CMO，即可得ON=OM，然后分別從t＞0，-5＜t＜0，t＜-5時(shí)分析求解，即可求得答案；
（3）分別從CN∥PM與MN∥CP時(shí)分析求解，根據(jù)直角梯形的性質(zhì)，即可求得答案．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式以及直角梯形的性質(zhì)．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與方程思想的應(yīng)用．